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4.3.7
Comparaison portant sur la somme d'un
nombre fini de termes.
L'utilisation d'un schéma facilite
l'obtention de ces inégalités.
La somme des aires des rectangles en
q
couleur correspond à 2.:= f(k).
k=p+ I
Lecture de l'encadrement précédent en
vue d'encadrer f (k).
l
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Comparaison d'une série à une intégrale
1) Etude élémentaire pour une fonction monotone
a) Cas d'une fonction décroissante
Soient no E N,J : [no ; + oo[----* Jœ. une application continue par morceaux et
décroissante.
On a, pour tout (p,q) de N
2 tel que n 0 ~ p < q :
rq+I
q
[q
1
r,
1 ~ I: J(k) ~ 1
r,
J.
p+I
k=p+I
P
Preuve
y
0
p+l
q q+l
X
y
0 no p p+l
q
X
Puisque f décroît, on a :
V k ;,, n o, \lx E [k ; k + l], f (k + 1) ~ f (x) ~ f (k),
{ k+I
d'où: V k ;,, n 0 , f(k + 1) ~ lk f(x) dx ~ f(k),
ou encore: Vk > no,
rk+I f ~ f(k) ~ {k f.
lk
lk-1
rq+ I
q
{ q
En sommant pour k allant de p + 1 à q, on obtient: ln f ~ L f(k) ~ ln f.
p+ I
k=p+I
fJ
•
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