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254
Chapitre 4 • Séries
Les méthodes à retenir
Utilisation d'un développement asymptotique
• Pour étudier la nature d'une série L u 11 alternée pour laquelle lun 1 contient encore (-1)
11 dans son écriture,
ou plus généralement la nature d' une série réelle ou complexe non absolument convergente, on pourra essayer d ' utiliser
un développement asy mptotique de u 11 (ex. 4.3.ll, 4.3.12).
Exercices
4.3.11 Déterminer la nature de la série de terme général :
(-l )n
a) ----;::===== Jn + (-l)n
(- l)n
b) 2
1
n 3 +(- l)" n 3
(-l )n
c) 2
1
n 3+n3+(- 1)"
(- l)n
d) -------.,==
n + (- l)"Jn+l
e) (-l)"(Jn+l - Jn)
(- l )" ln(n + v1iï2+!)
.fJ
J n+2
n
. ( n+ l)
g) (- 1) Arcsm n 2 +
3
(- l)n
l
h) - -cos -
Jn
n
l
.fiîsin r.;
·; ( l )n
'\/ n
j
-
Jn + (-l)n
(- l)n
k)
3
cosn + n 4
l) (- l Y n - tan(!f +*)
m) (-l)n ln n(n + 2)
n 2 - n + 1
(- 1)"
n) - - -
n - ln n
(- 1)"
o) (Inn + (- 1)") 2
( -1 )" '1'n
p)
1
nn
(-l)n
q) - - - - - -
lnn+ (- l)nln(lnn)
(-l)n
r) - - - - -
Jnln n + (-l)n
s) (-1 )"( (1 + ~)-n -e1
)
t) (-1 )" ( ( l + :2 )" -1)
u) (- l r (en+ l )nÎ-i - n*)
(
Inn)
v) ln 1 + ( - l)n ---;;-w) cos (nn 2 1n - n - )
n- 1
x)sin (2n Jn2+(- l )" )
y) sin ((1 + (- l)"Jnf
1
)
(
(-1 )" )
z) ln 1 + ---;;a- , a E IR'f.
n+(- l)" Jn+a
a') ln
(a, b) E IR
2
n + (- 1)" .fa + b '
b'
(-1)"
) Jna + (-l)n '
a E !R'f. .
4.3.12 Soit (un)n ~O la suite définie par uo E IR+et:
"ln EN,
e-Uu
Un+ I = - - .
n+ l
Quelle est la nature de L (-1 )n Un?
n ~O