4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Si, dans le développement asymptotique, le o ou le 0 ne porte pas sur le terme général d'une
série absolument convergente, on essaiera de grouper ce o ou 0 avec un autre tem1e qui, lui,
soit de signe fixe, en vue d'appliquer le théorème d'équivalence.
Exemple : Nature de
(-!)"
I:- -
lnn+(-1 )"
Ona:
- - - - - - - - l---+o - -
(-1)"
(-1)" (
(-1)"
( 1 ))
ln n + (-1)
11
ln n
ln n
ln n
Groupement du terme o ( -
1
- 2
)
(ln n)
1
avec le terme - - - 2
, qui est de
(ln n)
signe fixe.
(-l)n
• L -- est convergente (TSCSA)
n
Inn
1
(
1 )
1
• - (lnn)2 +o (lnn)2 n~ - (lnn)2 < O
(
1
(
1 ))
- - - +o - -
diverge.
~ (lnn) 2
(lnn) 2
Finalement, la série proposée diverge.
et
1
L --- 2 diverge, donc
n
(ln n)
Exemple de détermination de la nature d'une série par utiJisation d'un développement asymptotique
n
2
+ (-l)"n
Déterminer la nature de la série de terme général u,, = ln
2
.
n +2
Solution
Le terme général u,, existe dès que n ;?: 2, car alors: n
2 + (-l)"n > O.
Formons un développement asymptotique de u,, lorsque l'entier n tend vers l'infini :
(-1)"
u,. = ln
1
; + - 1- = ln ( 1 + (-:)") - ln ( 1 + : 2 )
172
= ( (-l)" - _l + 0(2-)) -(2- + 0(2-)) = i=22.' .' .. - 2- + 0(2-).
n
2n 2
n 2
n 2
n 2
n
2n 2
n 2
L , . d
, , 1 ( - l )"
d' ' l'
l d Ri
al
,
a sene e terme genera - - est convergente, apres exemp e e emann terne.
n
1
La série de terme général 2 est convergente d'après l'exemple de Riemann, 2 > 1.
n
La série de terme général o ( n
1
2
) est absolument convergente, donc convergente,
puisque, à partir d'un certain rang, Io( : 2 ) 1 : ; : ; ; : 2 ·
On conclut : la série de terme général u,, converge.
Conseils
On s'assure d'abord de l'existence de u 11 •
Puisque ( - 1 )" n'est pas explicitement en
facteur dans u 11 , il est préférable de ne pas
essayer d'appliquer le TSCSA.
Rappels:
ln(! + u ) = u + o (u),
u -i-0
u 2
ln(l + u) = u - - + o (u
2 ).
11 --+ Ü
2
Ce résultat sur l'exemple de Riemann alterné est lui-même conséquence du TSCSA.
Utilisation du théorème de majoration
pour des séries à termes réels ~ O.
Addition de trois séries convergentes.
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