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N
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..._,
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0
u
252
Chapitre 4 • Séries
Exercices
4.3.8 Déterminer la nature de la série de terme général :
c-1r
a) - -
Montrer que L Un converge et :
n ~ I
n~
b) (-l)nn-< 1 +n°l , a E IR
(
Il
1)
c) (-l)
11 exp - {; k
(-l)n 11 1
d) -
'°' - .
ln(n!) 6 k
4.3.9 Pour n EN* on note
+oo
+oo 1
+oo (-l)n
+oo (-l)n
LUn = L n2 + L - n - - L---;;2·
n=I
n=I
n=I
n=I
4.3.10 Soient (an ) 11 -;;,o une suite réelle décroissante de
limite 0, et, pour tout n de N, u 11 = (-1)
11 an et
Il
U11 = LUk.
k=O
Montrer que La~ converge si et seulement si L un Un
n
n
l
-l ; ; sin est le carré d' un entier
Un -
(-l)" .
- - sinon.
converge.
n
4.3.6
On a déjà utilisé des développements
asymptotiques pour étudier la nature de
certaines intégrales impropres
(cf. exercice 3.4.1 ).
Obtention d'un développement
asymptotique du terme général de la
série, lorsque l'entier n tend vers l'infini,
à la précision 0 ( n;/l).
Ceci montre que le théorème
d'équivalence pour les séries à termes
dans lR+ (4.2.2 Théorème 3
p. 227) n'est pas applicable aux séries à
termes réels de signe variable.
Exemples d'utilisation d'un développement
asymptotique
Dans de nombreux exemples de recherche de la nature d'une série L Un alternée, où lun 1
n -;;,O
«contient encore (- l)n à l'intérieur», le TSCSA n'est pas applicable, car (Jun l)n -;;,O peut ne
pas être décroissante. On peut alors essayer d'utiliser un développement asymptotique de Un
lorsque n tend vers l'infini (dans une échelle à préciser).
(- J)ll
Exemple: Nature de L -- ---.
11 :)2 Jn + (- l )"
Ona:
(-1)"
(-W (
(-l)n) - 1
- - - - - = - - 1 + - -
Jn + (-1)"
fa
Jn
= C-1)" (1_ C-l)" +oc~))= C-l)" -~+o(_!_)·
Jn
Jn
n
Jn
n
n ~
(-1)11
.
• L r.:: est semi-convergente
n
vn
1
• L - diverge
n n
• L O (
1
1
) est absolument convergente.
11
n 2
On conclut à la divergence de la série proposée.
( - 1 )Il
(- 1 )Il
( -1 )Il
Ainsi, dans cet exemple Jn
. . ~ r.:: , bien que les deux séries L Jn
et
n + ( -1 )" 1100 v n
11
n + ( - 1 )
11
"(-l)ll
.
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d"""'
L....,
r.:: sment e natures iuerentes.
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Chapitre 4 • Séries
Exercices
4.3.8 Déterminer la nature de la série de terme général :
c-1r
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Montrer que L Un converge et :
n ~ I
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4.3.9 Pour n EN* on note
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LUn = L n2 + L - n - - L---;;2·
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4.3.10 Soient (an ) 11 -;;,o une suite réelle décroissante de
limite 0, et, pour tout n de N, u 11 = (-1)
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U11 = LUk.
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Montrer que La~ converge si et seulement si L un Un
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On a déjà utilisé des développements
asymptotiques pour étudier la nature de
certaines intégrales impropres
(cf. exercice 3.4.1 ).
Obtention d'un développement
asymptotique du terme général de la
série, lorsque l'entier n tend vers l'infini,
à la précision 0 ( n;/l).
Ceci montre que le théorème
d'équivalence pour les séries à termes
dans lR+ (4.2.2 Théorème 3
p. 227) n'est pas applicable aux séries à
termes réels de signe variable.
Exemples d'utilisation d'un développement
asymptotique
Dans de nombreux exemples de recherche de la nature d'une série L Un alternée, où lun 1
n -;;,O
«contient encore (- l)n à l'intérieur», le TSCSA n'est pas applicable, car (Jun l)n -;;,O peut ne
pas être décroissante. On peut alors essayer d'utiliser un développement asymptotique de Un
lorsque n tend vers l'infini (dans une échelle à préciser).
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Exemple: Nature de L -- ---.
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On conclut à la divergence de la série proposée.
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