4.3 · Séries à termes dans un evn (2e étude)
Exemple de détermination de la nature d'une série par utilisation du TSCSA
(- !)" In n
Déterminer la nature de la série de terme général u,. =
.
n
Solution
li s'agit d'une série alternée. L'étude de l'absolue convergence ne permet pas de
conclure.
In n
On a, par prépondérance classique, lu 11 I = -
-----+ O.
n
noo
Pour étudier l'éventuelle décroissance de la suite (lu 11 1) 11 , comme la différence
1
1 1 1 1
lun+1 I
.
. I
, d" I
.
u,.+1 - u,, et e rapport - - ne paraissent pas s1mp es, on va etu 1er es vanalu,. I
tions de la fonction
lnx
f: [l ; +oo[ -----+ IR, x f----7 f(x) = -
.
X
L'application f est dérivable sur [1 ; +oo[ et, pour tout x E [ 1 ; +oo[ :
,
1 - lnx
f (x) =
2
• En particulier: V x ;:::: 3, f'(x) ~ 0 , donc f est décroissante
X
sur [3; +oo[.
Il s'ensuit, puisque, pour tout n;:::: 3, lu,,I = f(n) , que la suite (lu,,1) 11 ;;, 3 est
décroissante.
Ainsi, la série de terme général u,. est alternée et la valeur absolue du terme général tend vers 0 en décroissant, à partir de l'indice 3.
D'aprés le TSCSA, on conclut que la série Lu, . converge, et donc la série L u, .
converge.
Séries alternées
Conseils
ln n
1
On a :lu,,I = - ;;:: - , pourn ;;:: 3, donc
n
11
la série de terme général u,, n'est pas absolument convergente. Ceci ne permet pas
de conclure quant à la convergence de la
série de terme général u,, .
La comparaison de lu 11 +1 I - lu,,I à 0 et la
.
d lu,.+1 I à 1
.
comparaison e - -
ne paraissent
lu,,I
pas simples.
La décroissance de la fonctio n f sur
[3 ; + oo[ entraîne la décroissance de la
suite (f (n) ),,;;. 3
.
Récapitulation des hypothèses du TSCSA.
• Pour montrer qu'une série L 11,, alternée converge, on peut essayer d'appliquer le TSCSA. Ce sera souvent
1P O
possible lorsque un contient (-1)
11 en facteur et que lunl ne contient pas ( - 1)
11 dans son écriture (ex. 4.3.8).
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