Chapitre 4 • Séries
4.3.5
Les termes sont alternativement ~ 0
et ~ O.
Il est clair qu'un cas se ramène à l'autre
en considérant les opposés.
Ne pas oublier l'hypothèse de
~ décroissance.
c
::J
Exemple à connaître, utile en pratique.
~ _..._] _.,__-~
~
divergente
semi
absolument
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
250
convergente
convergente
Nature de la série
(-!)"
' °" --pour a E lR fixé.
L
na
n ~ I
Séries alternées
Les séries envisagées dans ce § 4.3.5 sont à termes réels.
On dit qu'une série L un à termes réels est alternée si et seulement si :
n ~O
"ln EN,
ou
"ln EN,
Théorème spécial à certaines séries alternées :TSCSA
Soit L Un une série à termes réel s.
n ~ O
{
L Un est alternée
n ~O
Si Un -----+ 0
,
noo
alors L U n converge.
n ~O
(lunl)ne111 décroît
Preuve
Supposons, par exemple : Vn E N, u 11 = (-1)
11 lun1 -
n
Notons Sn = L Uk la n èmc somme partielle pour n E N. On a, pour tout p de N :
k=O
• S2p+2 - S 2p = u2p+1 + u2p+2= -lu2p+ 11 + lu2p+2I ~ 0
• S 2p+J - S2p+ 1 = U2p+2 + U2p+J = lu2p+2I - lu2p+JI ~ 0
• S2p+1 - S2p = U2p+1 -----+O.
p oo
Ceci montre que les suites (S 2 p)pEN et (S 2 p+ 1 )pElll sont adjacentes (cf. Analyse MPSI, 3.2.2 Définition),
donc convergent et ont la même limite. Il en résulte (cf. Analyse MPSI, 3.3 Prop. 2) que (Sn)n ~o converge,
c'est-à-dire que L U n converge.
n ~O
E
1 S , . d R"
1
, L ( - 1 )" 1Ill fi ,
xemp e: ene e 1emann a ternee,
- - , a E n 1xe.
na
n ~I
1) Si a ~ 0, alors (- l)n + 0 , donc la série diverge grossièrement.
na noo
(-l)n
1
2) Si 0 n ~ I na
n ~ I na
diverge), mai s converge d'après le TSCSA, donc est semi-convergente.
(-l)ll
3) Si a > 1 , alors'°"' - - est absolument convergente, donc convergente.
L_, na
n ~ I