S'il n'y a pas de risque de confusions
entre K,JR,C ,on peut noter f,
2 au lieu
de e
2 (K).
L'inégalité :
'V(a ,{3) E (1R+ ) 2 ,
1
af3 :::;; 2 (a2 + 132 )
est très utile dans des études de
produit scalaire.
'a Utilisation de l'inégalité précédente.
D Cf.aussi P 4.6 p. 285.
c
::J
0
(V)
......
~ ~
'"
@~
"
....., _
..c O' l
.~-al
~ -~
>- ~
o.~
0 "'
Us
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ï5.
g
ë
..c:
Q.
j
-g
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"
0
@
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
2) Espace e
2 (OC)
L'ensemble e 2 (.IK) des suites (un)n ~O à éléments dans .IK , telles que la série L lunl
2
n ~ O
soit convergente, est un .IK-ev, et l'application (u , v) f------+ L un Vn est un produit scan.EN
Jaire sur ce .IK-ev.
On note N2 (ou 11 · 112) la norme associée :
l
1
Vu E e
2 (.IK) , N2(u) = ( L Juni
2
)2.
n EN
. . . . _ _ _
Preuve
• f
2 C ][{N , et Ü E f
2 donc f
2 =j:. 0 .
• Pour toutes u = (u,,),,~o E e
2 ' V = (v,,)n ~O E e
2 ' la série L Un v,, est absolument convergente car:
n ~ O
Vn E N,
Ceci montre que l'application (u ,v )r---+ L ÏÏ 11 V 11
nEN
• Soient u = (u,,),, ~o E e
2 ' V= (v,, ),, ~o E e 2 . On a:
Vn E N, lu,,+ V nl
2
:::;; (lu,,I + lv,,1)2 = lu,, 1
2 + 21 u,,I lv,, I + lv,, 1
2
:::;; lu,, 1
2 + (1 un l
2 + lv,, 1
2
) + lv,, 1
2 = 2(1 u,, 1
2 + lv,,1
2
) ,
donc : U + V E f 2 .
•Ilestclairque : VaE IK,VuE f
2 ,
auE l
2 .
Vu ,v E f
2 ,
2 ,
2 ,
• Les propriétés :
Vu E f
2 ,
( sont immédiates.
Remarque:
•
On a e' c e
2 car, si la série L lu,,I converge, alors u,,-----+ O,donc,à partir d'un certain rang,
n ~O
noo
lun I :::;; l, d'où lun 1
2 :::;; lu,, I, et donc la série L lun 1
2 converge.
11 ~ 0
249
entre K,JR,C ,on peut noter f,
2 au lieu
de e
2 (K).
L'inégalité :
'V(a ,{3) E (1R+ ) 2 ,
1
af3 :::;; 2 (a2 + 132 )
est très utile dans des études de
produit scalaire.
'a Utilisation de l'inégalité précédente.
D Cf.aussi P 4.6 p. 285.
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4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
2) Espace e
2 (OC)
L'ensemble e 2 (.IK) des suites (un)n ~O à éléments dans .IK , telles que la série L lunl
2
n ~ O
soit convergente, est un .IK-ev, et l'application (u , v) f------+ L un Vn est un produit scan.EN
Jaire sur ce .IK-ev.
On note N2 (ou 11 · 112) la norme associée :
l
1
Vu E e
2 (.IK) , N2(u) = ( L Juni
2
)2.
n EN
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Preuve
• f
2 C ][{N , et Ü E f
2 donc f
2 =j:. 0 .
• Pour toutes u = (u,,),,~o E e
2 ' V = (v,,)n ~O E e
2 ' la série L Un v,, est absolument convergente car:
n ~ O
Vn E N,
Ceci montre que l'application (u ,v )r---+ L ÏÏ 11 V 11
nEN
• Soient u = (u,,),, ~o E e
2 ' V= (v,, ),, ~o E e 2 . On a:
Vn E N, lu,,+ V nl
2
:::;; (lu,,I + lv,,1)2 = lu,, 1
2 + 21 u,,I lv,, I + lv,, 1
2
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2 + (1 un l
2 + lv,, 1
2
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2 = 2(1 u,, 1
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donc : U + V E f 2 .
•Ilestclairque : VaE IK,VuE f
2 ,
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Vu ,v E f
2 ,
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• Les propriétés :
Vu E f
2 ,
( sont immédiates.
Remarque:
•
On a e' c e
2 car, si la série L lu,,I converge, alors u,,-----+ O,donc,à partir d'un certain rang,
n ~O
noo
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2 :::;; lu,, I, et donc la série L lun 1
2 converge.
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