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Chapitre 4 • Séries
Si A = IK,on retrouve l'exponentielle
complexe ou réelle définie
antérieurement.
4.3.4
S'il n'y pas de risque de confusion entre
OC, R , ('.,on peut noter l 1 au lieu de
l
1 (IK).
\-[/J Cf.aussi 4.3.2 Rem. p.244.
248
l
Soit A une algèbre de Banach.
1
Pour tout a de A, la série '""" - an converge.
L,.; n'
n;;,O .
On appelle exponentielle, et on note exp : A ----+ A , l'application définie par :
m--+exp(a)
Va E A,
+oo 1
exp(a) = I: - an.
0
n!
n=
Nous verrons plus loin (exercice 4.3.32 p. 282) que, si a,b E A commutent, alors:
exp(a + b) = exp(a) exp(b).
Espaces f
1 (OC) et f
2 (IK)
1) Espace e
1 (IK)
L'ensemble e 1 (IK) des suites (un)n ;;,O à éléments dans IK, telles que la série L lun 1
n;;,O
soit convergente, est un IK-ev, et l'application N1
e 1 (IK) ----+ IR est une norme
(un)n;,Of----* L lun 1
nEN
sur ce IK-ev.
Preuve
• i 1 C lKN,et O E i 1 donc i 1 :f. 0
•Soient u = (un)n ;;,o E -1' .
1 , v = (v,,) 11 ;;,o E i'.
1 •
Alors L_)u,, + v,,) est absolument convergente, donc u + v E e
1
, et:
n ~O
+oo
+oo
Ni(u + v) = L lu,,+ Vnl = L lu,,+ v,, I : : . : : ; L ( !uni+ lv,,1)
nEN
n=O
n=O
+oo
+oo
= L !un i+ L lvnl = L lun l + L lvnl = N1(u) + N,(v).
n= O
n=O
nEN
n EN
•Soient a E JK, u = (u,,) 11 ;;,o E i'.
1 •
Alors Lau,, est absolument convergente, donc au E l
1
, et:
n ~O
+oo
+oo
Ni (au)= L !au,, 1 = L !au,, 1 = lai L lun 1 = lalN1 (u).
n ~
n~
n~
+oo
• Si u = (u,,)n ;;,o E -1' . 1 vérifie N, (u) = 0, alors L lun 1=0, donc
11=0
(Vn EN, Un = 0), u =O.
•