4.3.3
\ ] _ Rappel: définition d'une algèbre.
,,
\J_... Rappel: définition d'une algèbre normée.
"'O
0
c
::J
0
D N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ce théorème généralise le résultat sur
la série géométrique complexe,
cf.§ 4.2.4 Théorème.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Séries usuelles dans une algèbre de Banach
Rappelons qu'une algèbre (associative et unitaire) est un ensemble A muni de trois lois notées
+ (interne), · (externe), · (interne) tel que :
(A,+,-) est un IK-ev
· est distributive sur+
V' J... E IK, Vx,y E A, 'J...(xy) = ('J...x)y = x('J...y)
· est associative
· admet un neutre noté e
(les lois .,. sont souvent notées par l'absence de symbole).
L'algèbre A est dite normée lorsqu'elle est munie d'une application 11 · 11 : A -----+ IR telle que :
l
11 · 11 est une norme sur le IK-ev A
V(x,y) E A
2 ,
llxyll ~ ilxl l llYll.
Le contexte peut imposer la condition llell = 1.
Soit A une algèbre de Banach, c'est-à-dire une algèbre normée telle que le IK-evn A soit complet. On peut, en première lecture, se restreindre au cas où A est de dimension finie.
1) Série géométrique
Il s'agit, pour a E A fixé, de la série Lan, où a 0 = e et, pour tout n de N, an+i = a
11 a.
n ):O
Supposons
llall < 1.
Comme, par une récurrence immédiate
Vn EN*,
+oo
absolument convergente, donc convergente. Notons S sa somme, S = Lan.
n=O
On a, pour tout n de N :
n
n
n
11
n+I
(e - a) L ak = L ak - L ak+1 = L ak - L ak = e - an+1,
k=O
k=O
k=O
k=O
k=I
et, de même:
(tak)(e - a)= e -a
11 +
1
•
k=O
Il
n 'ÇO
Puisque z=ak----? S, que a
11 +
1
----? 0, et que l'application A 2 -----+ A est continue,
1100
(x,y)1--+xy
k=O
1100
on obtient, par passage à la limite : (e - a)S = S(e - a) = e.
Résumons l'étude :
Soit A une algèbre de Banach.
Pour tout a de A tel que l la 11 < 1, la série géométrique Lan converge, e - a est
+oo
J
inversible dans A, et:
Lan= (e - a) - 1 •
n=O - - -
2) Série exponentielle
1
Il s'agit, pour a E A fixé, de la série ~ - a
11
•
L.., ni
n ):O
.
Il
1
Il llall"
llall"
l
Comme: Vn EN,
I a
11
~ - - 1
- , et que Z:: -- 1
- converge, la série LI a
11 est abson.
n.
n 'ÇO n.
n 'ÇO n.
Jument converge, donc convergente.
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\ ] _ Rappel: définition d'une algèbre.
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Ce théorème généralise le résultat sur
la série géométrique complexe,
cf.§ 4.2.4 Théorème.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Séries usuelles dans une algèbre de Banach
Rappelons qu'une algèbre (associative et unitaire) est un ensemble A muni de trois lois notées
+ (interne), · (externe), · (interne) tel que :
(A,+,-) est un IK-ev
· est distributive sur+
V' J... E IK, Vx,y E A, 'J...(xy) = ('J...x)y = x('J...y)
· est associative
· admet un neutre noté e
(les lois .,. sont souvent notées par l'absence de symbole).
L'algèbre A est dite normée lorsqu'elle est munie d'une application 11 · 11 : A -----+ IR telle que :
l
11 · 11 est une norme sur le IK-ev A
V(x,y) E A
2 ,
llxyll ~ ilxl l llYll.
Le contexte peut imposer la condition llell = 1.
Soit A une algèbre de Banach, c'est-à-dire une algèbre normée telle que le IK-evn A soit complet. On peut, en première lecture, se restreindre au cas où A est de dimension finie.
1) Série géométrique
Il s'agit, pour a E A fixé, de la série Lan, où a 0 = e et, pour tout n de N, an+i = a
11 a.
n ):O
Supposons
llall < 1.
Comme, par une récurrence immédiate
Vn EN*,
+oo
absolument convergente, donc convergente. Notons S sa somme, S = Lan.
n=O
On a, pour tout n de N :
n
n
n
11
n+I
(e - a) L ak = L ak - L ak+1 = L ak - L ak = e - an+1,
k=O
k=O
k=O
k=O
k=I
et, de même:
(tak)(e - a)= e -a
11 +
1
•
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Il
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Puisque z=ak----? S, que a
11 +
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1100
(x,y)1--+xy
k=O
1100
on obtient, par passage à la limite : (e - a)S = S(e - a) = e.
Résumons l'étude :
Soit A une algèbre de Banach.
Pour tout a de A tel que l la 11 < 1, la série géométrique Lan converge, e - a est
+oo
J
inversible dans A, et:
Lan= (e - a) - 1 •
n=O - - -
2) Série exponentielle
1
Il s'agit, pour a E A fixé, de la série ~ - a
11
•
L.., ni
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Comme: Vn EN,
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- converge, la série LI a
11 est abson.
n.
n 'ÇO n.
n 'ÇO n.
Jument converge, donc convergente.
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