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0
N
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.......
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>0.
0
u
246
Chapitre 4 • Séries
2) Si L Un et L Vn sont deux séries telles que L Vn diverge et Un = n~ (vn) ,on ne peut pas
n.
Il
n.
déduire que L un converge. Exemple: U n = - - ,
n In n
1
Vn = - .
n
n
Les méthodes à retenir
Convergence absolue
• Pour montrer qu'une série L u 11 , à termes complexes ou réels de signe variable, converge, on peut envisa11 :;,o
ger de montrer que la série L u 11 est absolument convergente (ex. 4.3.2, 4.3.5, 4.3.6).
11 ;;,0
4.3.2 Déterminer la nature de la série de terme général :
a) (- l )n tan -
- sin -
-
(
1
1 )
Jn
Jn
b) (1 - _ n ) -"
ln n
-- c) sin (rrJ n4 + 1)
: ; (th(a + ~) )" , (a,b) E ~* x ~
-1
ln (11+ l )
sinx
e)
dx.
In n
Jx3+x+ l
4.3.3 Soit Lu, , une série réelle semi-convergente.
n
Montrer que L u~ et L u;; divergent
Il
Il
+ _ {X SÎ X ~ Û
(où on note, pour x E ~ . x -
Û Si X< Û '
{
Ü Si X > Ü
x - = -x si x ~ O'
cf. Analyse MPSI, Exercice 4. l.3).
4.3.4 Soit L Zn une série convergente à termes dans
rr
te lle qu' il existe a E [0; 2 [ tel que :
V n E N, IArg (Zn)I ~ a . Montrer que L lzn l converge.
Il
4.3.5 Déterminer la nature de la série L Un, où u 0 E ~ et :
11 ;;,o
V n EN, (n + 2) 3 un+ I = (n + l ) u ,, + n .
4.3.6 Montrer qu'il existe a E ~~ tel que :
11
(
(-ll -') a
TI i +
~k=2
.jk
noo .;n·
n 1
On utilisera L - =Inn + y+ o (1) ,
k= I k
noo
cf. plus loin 4.3.7 2) Exemple p. 259.
4.3.7 Soit (an)n ;;, 1 une suite dans
1
Montre r que L -- 3 converge.
n ;;, 1 la,, I
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déduire que L un converge. Exemple: U n = - - ,
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Les méthodes à retenir
Convergence absolue
• Pour montrer qu'une série L u 11 , à termes complexes ou réels de signe variable, converge, on peut envisa11 :;,o
ger de montrer que la série L u 11 est absolument convergente (ex. 4.3.2, 4.3.5, 4.3.6).
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4.3.2 Déterminer la nature de la série de terme général :
a) (- l )n tan -
- sin -
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b) (1 - _ n ) -"
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-- c) sin (rrJ n4 + 1)
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4.3.3 Soit Lu, , une série réelle semi-convergente.
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Montrer que L u~ et L u;; divergent
Il
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(où on note, pour x E ~ . x -
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x - = -x si x ~ O'
cf. Analyse MPSI, Exercice 4. l.3).
4.3.4 Soit L Zn une série convergente à termes dans
rr
te lle qu' il existe a E [0; 2 [ tel que :
V n E N, IArg (Zn)I ~ a . Montrer que L lzn l converge.
Il
4.3.5 Déterminer la nature de la série L Un, où u 0 E ~ et :
11 ;;,o
V n EN, (n + 2) 3 un+ I = (n + l ) u ,, + n .
4.3.6 Montrer qu'il existe a E ~~ tel que :
11
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On utilisera L - =Inn + y+ o (1) ,
k= I k
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cf. plus loin 4.3.7 2) Exemple p. 259.
4.3.7 Soit (an)n ;;, 1 une suite dans
1
Montre r que L -- 3 converge.
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