-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Chapitre 4 • Séries
4.2.28 a) Montrer que, pour tout n de N*, il existe un élément Un de IR+ unique tel que
/ ,
1 et
tdt = n.
lin
b) Montrer: un ----+O.
noc
c) On note, pour n E N*: Vn = n + 1n(un).
Etudier (vn)n ;;, 1 (on montrera que (vn)n converge et on
exprimera sa limite par une intégrale).
d) Quelle est la nature de L Un?
n
4.2.29 Soient a E IR* et (un)n ;;, 1 la suite définie par
u1 =a et:
'VnEN*,
e
11
" -1
Un + • =ln---.
u,,
a) Etudier la suite (u,,) 11 ;;, 1 •
b) Montrer que L ( fJ uk) converge et calculer sa
n;;, I
k=I ,
somme.
4.2.30 Quelle est la nature de la série des extremums
locaux de f : ]0; +oo[--+ R ?
. 2
X I--* SI~ X
4.2.31
Pour chaque n de N*, soit a(n) le nombre de
zéros de l'écriture den en base 3.
xa(n)
Pour quels x de IR+ la série L - 3
- est-elle convergente ?
11;;, 1 n
4.2.32
Soit L u 11 une série convergente à termes
n;;,o
+oc
dans IR+. On note, pour n EN, Rn = L Uk.
k=n+ I
Montrer que L nu,, converge si et seulement si L R 11
n~
n ~
converge et que, dans le cas de convergence, ces deux
séries ont la même somme.
4.2.33 a) Soit f : [O; +oo[--+ IR de classe C
2 • Pour
n E N, on note :
n
r
Un = L f(k) - Jo f(t) dt
k=Ü
0
1 ["
(
1 )
2
+2Jo J"(t) t-E(t)-2 dt.
Etablir:
\ln EN,
1
1
Un = 8(.f'(n) - f'(O)) + 2(.f(n) + f(O)).
+ oc 1
b) Pour a E]l. + oo[, on note s(a) = '°' -
L.., na
n=I
(jonction dzêta de Riemann).
Déduire de a) :
Va E]l; +oo[,
1
1
1
1 a
a - 1 + 2 ~ s(a) ~ a - 1 + 2 + 8 ..
En particulier :
1
s(a) ~ - - .
a---> J+ a-1
4.3 Séries à termes dans un evn (2e étude)
Dans ce § 4.3, les séries envisagées sont à termes dans un IK-evn E .
4.3.l
CNS de Cauchy
Q Cf. 1.4.2 Déf. p. 68.
On appelle espace de Banach tout JK-evn complet.
J
\
Un evn de dimension« infinie » peut être
~
de Banach ou ne pas l'être.
D'après 1.4.2 Théorème 2, p. 70, tout evn de dimension finie est un espace de Banach.
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0
c
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Chapitre 4 • Séries
4.2.28 a) Montrer que, pour tout n de N*, il existe un élément Un de IR+ unique tel que
/ ,
1 et
tdt = n.
lin
b) Montrer: un ----+O.
noc
c) On note, pour n E N*: Vn = n + 1n(un).
Etudier (vn)n ;;, 1 (on montrera que (vn)n converge et on
exprimera sa limite par une intégrale).
d) Quelle est la nature de L Un?
n
4.2.29 Soient a E IR* et (un)n ;;, 1 la suite définie par
u1 =a et:
'VnEN*,
e
11
" -1
Un + • =ln---.
u,,
a) Etudier la suite (u,,) 11 ;;, 1 •
b) Montrer que L ( fJ uk) converge et calculer sa
n;;, I
k=I ,
somme.
4.2.30 Quelle est la nature de la série des extremums
locaux de f : ]0; +oo[--+ R ?
. 2
X I--* SI~ X
4.2.31
Pour chaque n de N*, soit a(n) le nombre de
zéros de l'écriture den en base 3.
xa(n)
Pour quels x de IR+ la série L - 3
- est-elle convergente ?
11;;, 1 n
4.2.32
Soit L u 11 une série convergente à termes
n;;,o
+oc
dans IR+. On note, pour n EN, Rn = L Uk.
k=n+ I
Montrer que L nu,, converge si et seulement si L R 11
n~
n ~
converge et que, dans le cas de convergence, ces deux
séries ont la même somme.
4.2.33 a) Soit f : [O; +oo[--+ IR de classe C
2 • Pour
n E N, on note :
n
r
Un = L f(k) - Jo f(t) dt
k=Ü
0
1 ["
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1 )
2
+2Jo J"(t) t-E(t)-2 dt.
Etablir:
\ln EN,
1
1
Un = 8(.f'(n) - f'(O)) + 2(.f(n) + f(O)).
+ oc 1
b) Pour a E]l. + oo[, on note s(a) = '°' -
L.., na
n=I
(jonction dzêta de Riemann).
Déduire de a) :
Va E]l; +oo[,
1
1
1
1 a
a - 1 + 2 ~ s(a) ~ a - 1 + 2 + 8 ..
En particulier :
1
s(a) ~ - - .
a---> J+ a-1
4.3 Séries à termes dans un evn (2e étude)
Dans ce § 4.3, les séries envisagées sont à termes dans un IK-evn E .
4.3.l
CNS de Cauchy
Q Cf. 1.4.2 Déf. p. 68.
On appelle espace de Banach tout JK-evn complet.
J
\
Un evn de dimension« infinie » peut être
~
de Banach ou ne pas l'être.
D'après 1.4.2 Théorème 2, p. 70, tout evn de dimension finie est un espace de Banach.
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