Exemples:
Déterminer la nature de la série de terme général :
(
n + 1 )n
a) - -
2n +s
n lnn
b ) - - .
(ln n ) 11
4 .2.15 Comparaison des règles de d'Alembert
et de Cauchy
a) Soit L u 11 une série à termes dan s IR+ telle que
n
U n + I
- - -----+ l E (0; +oo(.
U11 1100
1
Montrer qu'alors : u'/! -----+ l.
1100
Autrement dit, si la règle de d'Alembert s'applique, la règ le
de Cauchy s'applique alors aussi.
b) Soit (a,b) E IR
2 tel que 0 < a < 1 < b ; pour n E N*, o n
note a 11 = E(lnn).
Comparer les règles de d'Alembert et de Cauchy pour la
série de terme général Un = an - a11 b!a,,(a 11 + 1 ) .
4.2.16 Soit L Un une série à termes dans IR+ telle que:
n ~ I
Montrer que L u11 converge.
n;;. I
4.2.17 Soit (u 11 )n;,o une suite srictement croissante à
termes dans IR+, de limite +oo .
Montrer qu'il existe deux suites (a 11 )n;,o,(bn)n ;,o à termes
dans IR+ telles que:
l
'Vn ~ O,
b 11 :::;; a 11 un
L a 11 converge
n;;.o
L b 11 diverge.
n;;.o
4.2.18 Soit (u 11 ) 11 ;, 1 la suite définie par u 1 = 1 et:
1 n
'Vn E N*, Un +I = 2 L kuk.
n k= I
Montrer : Un -----+ 0
noo
(on pourra exprimer u 11 + 1 en fonction den et u 11 ).
4.2.19 Soit (un )n:;;, 1 une suite à termes dans IR+, te lle que
L Un converge.
n
a) On suppose que (un)n :;;, 1 décroît.
a) Démontrer: nun -----+ O.
noo
{3) En déduire la nature des séries L nu~ et L Un .
11
11
1 - nu 11
b) Examiner le cas où (u 11 )n;, 1 n'est pas supposée décroissante.
4.2 ·Séries à termes dans IR+
4.2.20
Soient (u 11 ) 11 ;, 1 une suite à termes dans IR+ , et
(vn)n :;;, 1 la suite définie par:
Vn -
U 1 +
+ ... +
.
_ ~ (
U 1 + U2
U 1 + U2 + ... + Un )
n
2
n
Etudier la convergence de L Vn.
11
4 .2 .21 Soit f : IR 2 -----+ IR une application continue telle
que:
'V(À ,x,y) E IR
3 ,
f(Àx,Ày) = Àf(x,y).
Soient (xn)n ;,o, (y 11 )n;,o deux suites réelles te lles que
L x~ et L Y~ convergent.
n;;.o
n;;.o
Montrer que L (f (x 11 , y 11 ))
2 converge.
n '3 0
4.2.22 Soit (un)neN une suite à termes dans IR+, décroissante, telle qu'il existe n 0 E N et k E N - {O, 1} tels que :
V n ~ no, kukn ~ Un. Montrer que L Un diverge.
11
4.2.23 Soit f : N* -----+ N* une application injective.
Montrer que L (
1
TI .f(k)) diverge.
n '3 1 (n + l)! k= l
4 .2 .24 a) Montrer que, pour tout n de N*, l'équation
x - ln x - n = 0 , d'inconnue x E [l ; +oo[, admet une
solution unique, notée Xn.
b) Quelle est, pour a E IR fixé, la nature de la série L x~?
n ~ I
4 .2 .25 Soient a E IR et (u 11 )n;,o la suite définie par u 0 = l
et: Vn E N, Un +I = ,,Yl + 3un - 1.
Etudier la nature de Lu~.
n;;.o
4 .2 .26 Soient a E IR et (u 11 )n;, 1 la suite définie par u 1 = 2
*
COS Un
et: Vn E N , Un +1 = - -.
n
Etudier la nature de L u~.
n ~ I
4.2.27 Soient (u 11 ) 11 ;, 1 une suite à termes dans IR+, et
(vn)n ;, 1 la suite définie par v1 E IR+ et:
Montrer que, pour que la série L u 11 converge, il faut et il
n
suffi t que la suite (vn)n converge. (On pourra étudier les
séries de ternies généraux:
241
Déterminer la nature de la série de terme général :
(
n + 1 )n
a) - -
2n +s
n lnn
b ) - - .
(ln n ) 11
4 .2.15 Comparaison des règles de d'Alembert
et de Cauchy
a) Soit L u 11 une série à termes dan s IR+ telle que
n
U n + I
- - -----+ l E (0; +oo(.
U11 1100
1
Montrer qu'alors : u'/! -----+ l.
1100
Autrement dit, si la règle de d'Alembert s'applique, la règ le
de Cauchy s'applique alors aussi.
b) Soit (a,b) E IR
2 tel que 0 < a < 1 < b ; pour n E N*, o n
note a 11 = E(lnn).
Comparer les règles de d'Alembert et de Cauchy pour la
série de terme général Un = an - a11 b!a,,(a 11 + 1 ) .
4.2.16 Soit L Un une série à termes dans IR+ telle que:
n ~ I
Montrer que L u11 converge.
n;;. I
4.2.17 Soit (u 11 )n;,o une suite srictement croissante à
termes dans IR+, de limite +oo .
Montrer qu'il existe deux suites (a 11 )n;,o,(bn)n ;,o à termes
dans IR+ telles que:
l
'Vn ~ O,
b 11 :::;; a 11 un
L a 11 converge
n;;.o
L b 11 diverge.
n;;.o
4.2.18 Soit (u 11 ) 11 ;, 1 la suite définie par u 1 = 1 et:
1 n
'Vn E N*, Un +I = 2 L kuk.
n k= I
Montrer : Un -----+ 0
noo
(on pourra exprimer u 11 + 1 en fonction den et u 11 ).
4.2.19 Soit (un )n:;;, 1 une suite à termes dans IR+, te lle que
L Un converge.
n
a) On suppose que (un)n :;;, 1 décroît.
a) Démontrer: nun -----+ O.
noo
{3) En déduire la nature des séries L nu~ et L Un .
11
11
1 - nu 11
b) Examiner le cas où (u 11 )n;, 1 n'est pas supposée décroissante.
4.2 ·Séries à termes dans IR+
4.2.20
Soient (u 11 ) 11 ;, 1 une suite à termes dans IR+ , et
(vn)n :;;, 1 la suite définie par:
Vn -
U 1 +
+ ... +
.
_ ~ (
U 1 + U2
U 1 + U2 + ... + Un )
n
2
n
Etudier la convergence de L Vn.
11
4 .2 .21 Soit f : IR 2 -----+ IR une application continue telle
que:
'V(À ,x,y) E IR
3 ,
f(Àx,Ày) = Àf(x,y).
Soient (xn)n ;,o, (y 11 )n;,o deux suites réelles te lles que
L x~ et L Y~ convergent.
n;;.o
n;;.o
Montrer que L (f (x 11 , y 11 ))
2 converge.
n '3 0
4.2.22 Soit (un)neN une suite à termes dans IR+, décroissante, telle qu'il existe n 0 E N et k E N - {O, 1} tels que :
V n ~ no, kukn ~ Un. Montrer que L Un diverge.
11
4.2.23 Soit f : N* -----+ N* une application injective.
Montrer que L (
1
TI .f(k)) diverge.
n '3 1 (n + l)! k= l
4 .2 .24 a) Montrer que, pour tout n de N*, l'équation
x - ln x - n = 0 , d'inconnue x E [l ; +oo[, admet une
solution unique, notée Xn.
b) Quelle est, pour a E IR fixé, la nature de la série L x~?
n ~ I
4 .2 .25 Soient a E IR et (u 11 )n;,o la suite définie par u 0 = l
et: Vn E N, Un +I = ,,Yl + 3un - 1.
Etudier la nature de Lu~.
n;;.o
4 .2 .26 Soient a E IR et (u 11 )n;, 1 la suite définie par u 1 = 2
*
COS Un
et: Vn E N , Un +1 = - -.
n
Etudier la nature de L u~.
n ~ I
4.2.27 Soient (u 11 ) 11 ;, 1 une suite à termes dans IR+, et
(vn)n ;, 1 la suite définie par v1 E IR+ et:
Montrer que, pour que la série L u 11 converge, il faut et il
n
suffi t que la suite (vn)n converge. (On pourra étudier les
séries de ternies généraux:
241