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0
u
240
Chapitre 4 • Séries
y) D ( 1 + ln ( 1 + :a)) -1, a E R~ .
4.2.3 Soient (un)n ;;,o une suite à tem1es dans R+ et, pour
Un
tout n de N, Vn = --- 2
.
1 +un
a) Montrer que, si L un converge, alors L v,, converge.
Il
Il
b) Montrer que, si z=u,, diverge et si (un)n est majorée,
Il
alors L v,, diverge.
Il
c) Donner un exemple où L Un diverge et L Vn converge.
11
n
4.2.4 Soit Lu, , une série convergente à termes dans R+ .
n
Montrer que L u~ converge.
Il
1
1
4.2.5 Soient (p, q) E (R~ )
2 tel que - + - = 1, et L U n
p
q
n;;, 1
une série convergente à termes dans R+.
Montrer qu 'il existe A E R+ tel que :
n
.!.
1
* "'\' p
-
'Vn E N , ~ uk ~ An q.
k= l
(Utiliser l'inégalité de Héilder dans R
11
, Analyse MPST,
5.4.3 2).)
4.2.6 Soient À E R~ , (un)n ;;,o, (an)n ;;,o deux suites à
termes dans R + telles que :
'Vn E N, - - - - - >
Montrer que L Un converge.
n
an
À
a,,
4.2.7 Soit a E]l ; +oo[. En remarquant:
1
1
a - 1
~ - - retrouver la convergence
(n + l)a - 1 noo na ,
l
de la série de Riemann "'\' - .
~na
n ;;;i: l
4.2.8 Soient L Un, L Vn deux séries à termes dans R +
n ~O
n ~O
telles qu'il existe N E N tel que :
'Vn ~ N,
Un+ l
Vn + l
--~-u,,
Vn
Montrer que, si L Vn converge, alors L Un converge.
n
n
4.2.9 Règle de Raabe et Duhamel
Soit Lu,, une série à tem1es dans R~.
n
On suppose qu'il existe a E R tel que :
Un + l
Ci
(1)
- - =1 - - + 0
-
.
Un
n noo n
Montrer : a) si a > l , alors Lu,, converge
Il
b) si a < 1 , alors L Un diverge.
Il
(Utiliser l'exercice 4 .2.8).
4.2.10 Soit Lu,, une série à termes dans R~ telle que:
n
- - =1 - - + 0
- -
.
U11+1
1
( 1 )
u,,
n noo nlnn
Montrer que L Un diverge.
11
4.2.11 Déterminer, pour (a ,b) E (R - Z _ )
2 , la nature de
la série de terme général:
a(a + 1) ... (a+ n - 1)
u,, =
.
b(b + 1) ... (b + n - 1)
(Utiliser l'exercice 4.2.9).
4.2.12 Généralisation de l'exercice 4.2.11.
Soient p E N*, (a 1 , ••• ,ap ) E (R+ )P,
(r 1 , ••• ,rp) E RP. Pour (a,n) E R+ x N*, on note
[a],, = a(a + 1) ... (a+ n - l). Déterminer la nature de
la série de terme général :
p
u,, = fl ([akln r .
k= l
(Utiliser les exercices 4.2.9 et 4.2.10).
4.2.13 Etudier la nature de la série de terme général :
32"
a) 23''
ln (n!)
b) - -
n!
n
1
c) n! fl sin- 2k
k= l
d) ( c:,,)1
, p EN - {0, l} fixé.
4.2.14 Règle de Cauchy
Soit L Un une série à termes dans R+. On suppose qu'il
n
1
existe l E [0; +oo[ tel que : u :; -----'; l.
noo
Montrer que :
{"
l < 1, alors z=u,, converge
n ~ I
SI l > 1 alors Lu, , diverge.
n ~ I