Cette CNS de Cauchy est un outil
théorique difficile à manipuler; on pourra
en pratique souvent éviter son
intervention.Cependant, nous utiliserons
plus loin la CNS de Cauchy, lors de l'étude
de la convergence absolue (4.3.2
Théorème p.244).
Cette remarque n'utilise que le sens
trivial de la CNS de Cauchy.
Cet exemple illustre la remarque
précédente.
CXll :::;; k :::;; f31l
7T
==} "4 + 2nrr :::;; ln k
37T
:::;; 4
+2nrr
.
1
===> srn(ln k) ~ ,j2 ·
CNS de Cauchy
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
CNS de Cauchy de convergence d'une série à termes
dans un espace de Banach
Une série L un à termes dans un espace de Banach E converge si et seulement si:
n ;;,O
q
'\:fr> 0, 3N EN, V(p,q) E N
2 , (N :::;; p < q ===}Il L Ukll :::;; .s).
k=p+I
Preuve
'
Il suffit d'appliquer la CNS de convergence d'une suite à termes dans un espace de Banach à la suite
(Sn)n eN des sommes partielles, puisque:
q
L Uk = Sq - Sp.
k=p+I
Remarque: S'il existe deux suites (an)n ;;,o, (f3n)n ;;,o 1 à termes dans N , telles que:
{ Vn EN, ail~ {3,,,
alors la série L un diverge.
n;;,O
Exemple:
ail -----+ OO,
1100
'°' sin (ln n) .
Montrons que 0
diverge.
Il
n~ I
0 ,
n
3n
Pour tout n de N*, notons an = E(exp(- + 2nrr)) + 1 et f3n = E(exp( - + 2nrr)).
4
4
On a bien alors an :::;; f3n, an -----+ OO, f3n -----+ OO, et
noo
noo
1
fJ,, sin(ln k)
{J,,
,J2
L k ~ L T
k=a,,
k=a11
3rr
n
exp(- + 2nn) - 1 - exp( - + 2nn)
>4
4
~
3rr
,J2 exp( 4
+ 2nn)
f3n
-----+
noo
e ~ - 1
M
JI"
i- O.
v2 e 2
•
• Pour montrer qu ' une série"" u 11 diverge, on peut envisager de former des sommes "" Uk. où an ----+ +oo et
L
L
noo
11 ,i'O
k=a 11
f311
f3n----+ +oo, de façon que "" Uk ne tende pas vers 0 lorsque l'entier n tend vers l'infini (ex. 4.3.1).
1100
L
k=CX11
243