Solutiot'l
Il est clair, par une récurrence immédiate, que, pour tout n :? 1, u,. existe et u 11 > O.
1
Comme u 11 + 1 - u 11 = - rx - > 0 , la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante.
n U 11
1) Supposons que la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 converge. Notons f, = limu 11 •
11 00
Puisque (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante et que u 1 > 0 , on a alors, pour tout n ;? 1,
0 < u 1 ~ u 11 ~ .f., donc .f. > O.
1
1
D'où : U11 + 1 - U11 = - - ~ -
> O.
n"u 11 1100 n" l
Puisque la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 converge, la série L(u 11 + 1 - u 11 ) converge, donc, par
n ~ I
l
théorème d'équivalence pour des séries à tem1es réels :? 0, la série'""" - converge,
Ln".f.
n ~ I
et donc, d'après l'exemple de Riemann, a > l.
2) Réciproquement, supposons a > l.
1
1
Ona, pourtoutn :? 1: o ~ U 11+ 1-U11 = - - ~ - - .
n" u11
nau1
l
Puisque a > 1, la série de Riemann '""" - converge, donc, par théorème de majoL n"
n ~ I
ration pour des séries à termes réels :? 0 , la série de terme général u 11 + 1 - u 11
converge.
Il en résulte que la suite (u 11 ),,;;. 1 converge.
Les méthodes à retenir
Séries à termes dans ~+
4.2 • Séries à termes dans IR+
Cot'lseils
On dégage d'abord les propriétés simples
et immédiates de la suite (u 11 ) 11 ;;, 1.
Séparation du raisonnement en deux
implications, puisque l'énoncé demande de
prouver une équivalence logique.
L'étude de la suite (u,.) 11 ;;, 1 se ramène à
l'étude de la série L:)u 11 + 1 - u,.) , d'après
n ~ I
le lien suite/série, cf.§ 4.1.1 3).
1
Si a :::;; 1, alors la série'""" - diverge,
Lna
n ~ I
contradiction.
On sait que la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante
et à termes dans IR~ .
Utilisation du lien suite/ série.
• Pour étudier la nature d'une série L u 11 à termes dans !R'.+ (ex. 4.2.l, 4.2.2), on pourra essayer de:
11 ;;.0
- trouver un équivalent simple de Un, puis appliquer le théorème d' équivalence. Pour obtenir un équivalent de un,
il pourra être nécessaire d'effectuer, de façon intermédiaire, des développements asymptotiques (ex. 4.2.1 e),
i), l) ... )
- appliquer la règle na Un, lorsque Un n' admet apparemment pas d'équivalent simple (ex. 4.2.1 d), e),. .. )
- majorer un par le terme général d'une série convergente, lorsqu' on conjecture que la série de terme général un
converge (ex. 4.2.1 p'), t'), ... )
- minorer u 11 par le terme général positif ou nul d' une série divergente, lorsqu'on conjecture que la série de terme
général Un diverge (ex. 4.2.1 m), x'), ... )
- mélanger l'utilisation d' équivalents et de majorants (ou d' équivalents et de minorants)
- appliquer la règle de d'Alembert, lorsque l' écriture de un fait intervenir des factorielles ou des exponentielles
(ex. 4.2.1 p '), q'), r'), 4.2.13).
• Pour déduire la convergence d'une série L v 11 à termes dans !R' .+ à partir de la convergence d'une série
11 ~0
Lu, , à termes dans IR+ , dans un cadre théorique, on essaie de :
11 ,,0
237
Il est clair, par une récurrence immédiate, que, pour tout n :? 1, u,. existe et u 11 > O.
1
Comme u 11 + 1 - u 11 = - rx - > 0 , la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante.
n U 11
1) Supposons que la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 converge. Notons f, = limu 11 •
11 00
Puisque (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante et que u 1 > 0 , on a alors, pour tout n ;? 1,
0 < u 1 ~ u 11 ~ .f., donc .f. > O.
1
1
D'où : U11 + 1 - U11 = - - ~ -
> O.
n"u 11 1100 n" l
Puisque la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 converge, la série L(u 11 + 1 - u 11 ) converge, donc, par
n ~ I
l
théorème d'équivalence pour des séries à tem1es réels :? 0, la série'""" - converge,
Ln".f.
n ~ I
et donc, d'après l'exemple de Riemann, a > l.
2) Réciproquement, supposons a > l.
1
1
Ona, pourtoutn :? 1: o ~ U 11+ 1-U11 = - - ~ - - .
n" u11
nau1
l
Puisque a > 1, la série de Riemann '""" - converge, donc, par théorème de majoL n"
n ~ I
ration pour des séries à termes réels :? 0 , la série de terme général u 11 + 1 - u 11
converge.
Il en résulte que la suite (u 11 ),,;;. 1 converge.
Les méthodes à retenir
Séries à termes dans ~+
4.2 • Séries à termes dans IR+
Cot'lseils
On dégage d'abord les propriétés simples
et immédiates de la suite (u 11 ) 11 ;;, 1.
Séparation du raisonnement en deux
implications, puisque l'énoncé demande de
prouver une équivalence logique.
L'étude de la suite (u,.) 11 ;;, 1 se ramène à
l'étude de la série L:)u 11 + 1 - u,.) , d'après
n ~ I
le lien suite/série, cf.§ 4.1.1 3).
1
Si a :::;; 1, alors la série'""" - diverge,
Lna
n ~ I
contradiction.
On sait que la suite (u 11 ) 11 ;;, 1 est croissante
et à termes dans IR~ .
Utilisation du lien suite/ série.
• Pour étudier la nature d'une série L u 11 à termes dans !R'.+ (ex. 4.2.l, 4.2.2), on pourra essayer de:
11 ;;.0
- trouver un équivalent simple de Un, puis appliquer le théorème d' équivalence. Pour obtenir un équivalent de un,
il pourra être nécessaire d'effectuer, de façon intermédiaire, des développements asymptotiques (ex. 4.2.1 e),
i), l) ... )
- appliquer la règle na Un, lorsque Un n' admet apparemment pas d'équivalent simple (ex. 4.2.1 d), e),. .. )
- majorer un par le terme général d'une série convergente, lorsqu' on conjecture que la série de terme général un
converge (ex. 4.2.1 p'), t'), ... )
- minorer u 11 par le terme général positif ou nul d' une série divergente, lorsqu'on conjecture que la série de terme
général Un diverge (ex. 4.2.1 m), x'), ... )
- mélanger l'utilisation d' équivalents et de majorants (ou d' équivalents et de minorants)
- appliquer la règle de d'Alembert, lorsque l' écriture de un fait intervenir des factorielles ou des exponentielles
(ex. 4.2.1 p '), q'), r'), 4.2.13).
• Pour déduire la convergence d'une série L v 11 à termes dans !R' .+ à partir de la convergence d'une série
11 ~0
Lu, , à termes dans IR+ , dans un cadre théorique, on essaie de :
11 ,,0
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