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236
Chapitre 4 · Séries
Solution
n 3 - l
D'où, puisque -
3
- - --4 i - :
Il + 2 noo
.
3
1
Pmsque ' 2 > 1, la série de Riemann L n 312 converge, donc, par théorème d'équi"
valence pour des séries à termes réels ~ 0, la série de terme général u 11 converge.
f) On a :
n In n
= n
2 - - - = exp (2 1nn + ( lnfl)
2
- n ln Inn)
( lnfl)n
( (
2 lnn
(lnn)
2
) )
= exp n - n- + - - n- - ln ln n .
Inn
Co mme-- --4
( ln n)
2
0 et - - --4 0,
n
noo
n
noo
on déduit (
2 1nn
( ln n)2
)
n - - + - - - ln ln n --4 -oo,
n
n
11 00
--4 O.
puis n
2 u,,
11 00
Il existe donc un entier N tel q ue : V n ~ N , n
2 u,, ~ l .
1
On a alors : V n ~ N , 0 ~ u 11 ~ 2·
fi
1
Puisque 2 > 1 , la série de Riemann L 2 converge, donc, par théorè me de majo11
fi
ration pour des séries à termes réels ~ 0, la série de te m1e général Un converge.
(
211 ) - 1 (2n)!(3n) !
g) On a, pour tout n E N : Un = C 5 n
=
> 0,
(Sn)!
d'où :
Un+ I
(2n + 2) !(3n +3) !
(Sn) !
u 11
(Sn+ S) !
(2n)!(3n)!
(2n + 1) (2n + 2)(3n + 1) (3n + 2)(3n + 3)
2
2 · 3
3
=
--4 - - < 1.
(Sn + l )(Sn + 2)(Sn + 3)(Sn + 4)(Sn + S) 11 00
ss
D'après la règle de d'Alembert, on conclut que la série de te rme général u 11 converge.
Étude d'une suite par intervention d'une série
Conseils
Obtention d'un équivalent simple de 11,,.
On ne peut apparemment pas trouver un
équivalent simple de 11 11 lorsq ue l'entier n
tend vers l'infini, ni trouver une majoration
ou une minoration efficace.On s'oriente
donc vers l'utilisation de la règle « nau,, » .
Prépondérance classique.
La présence de factorielles invite à essayer
la règle de d'Alembert.
Attention à simplifier les factorielles sans
erreur.
1
Soit a E ]O; +oo[ fixé. On co nsidère la suite (u,,) 11 ~ 1 définie par u 1 > 0 et: V n ~ 1, u,,+1 = u,, + - - .
nau,,
Démontrer que la suite (u 11 ) 11 ~ 1 converge si et seuleme nt si a > 1.