SolutioH
Notons U11 Je terme général proposé. Il est clair que, dans chaque exemple, u 11 existe
à partir d'un certain rang et que u 11 ~ O.
a) On a, pour tout n ~ 1 :
O ~ u1 1 =(Jn2+n-n)"=(~ )" ~ (~)"
n 2 + n + n
2
Puisque 1~ 1 < 1, la série géométrique L (~)
11
converge, donc, par théorème de
,, ~ 1
majoration pour des séries à termes réels ~ 0, la série de terme général u 11 converge.
b) On a, pour tout n ~ 1 :
(
1 ) l / 11
1
U11 ~ -
= - ~ o.
n"
n
1
La série de Riemann L - diverge, donc, par théorème de minoration pour des
11;;, 1 n
séries à termes réels ~ 0, la série de terme général u 11 diverge.
c) On a:
1
sh -
ln
Jn - ( r.: 1 )
u 11 =
1
- ln ....; n sh Jn
Jn
= ln ( Jn ( ~ + 6n~ + 0 c~))) = ln ( 1 + 6~ + 0 ( ~))
= -2._ + o(-2._) ~ -2._ ~ O.
6n
6n 1100 6n
1
La série de Riemann L - diverge, donc, par théorème d'équivalence pour des
,, n
séries à termes réels ~ 0, la série de terme général u 11 diverge.
d) On a:
= ln n + ln 2 + ln ( ( 1 + 0 ( : 2 ) ) = ln n + ln 2 + 0 ( : 2 ) ,:, ln n.
D'où:
1
u,, ~ - - ~ O.
1100 n Inn
1
D'après l'exemple de Bertrand, la série de terme général - - diverge, donc, par
n Inn
théorème d'équivalence pour des séries à termes réels ~ 0, la série de terme général u 11 diverge.
e) Comme Arccosx -----+ 0, on a:
X ~ JArccos x ~ sin ( Arccos x) = .Jf=X2
X ~ 1= ~v11=X
hv11=X.
X ~ 14.2 • Séries à termes dans IR+
Conseils
Utilisation d'une expression conjuguée,
pour transformer l'écriture de u,,.
0 :::;; n ! = 1 · 2 · · · n :::;; n · n · · · n = n".
Utilisation du théorème de majoration, par
contra position.
Recherche d'un équivalent simple de u,,
lorsque l'entier n tend vers l'infini.
Rappel:
x3
shx = x + - +o(x
3 ).
x->0
6
Rappel:
ln(I + u ) = u + o(u).
u~o
Recherche d'un équivalent simple de u 11
lorsque l'entier n tend vers l'infini. On
commence par chercher un équivalent
simple de Argsh n.
La précision 0 ( : 2
) suffit, dans le déve(
1 ) 1/ 2
loppement de 1 + n 2
L'exemple de Bertrand étant, en principe,
hors programme, il faudrait ici démontrer
l
que la série L -- diverge, par utilisan;;,2 n ln n
tion d'une comparaison série-intégrale,
cf.§ 4.2.3 p. 229.
Recherche d'un équivalent simple de
Arccos x , lorsque x ~ 1 - , cf. aussi Analyse
MPSI, § 8.2.3 3).
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