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......
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>- 0.
0
u
234
Chapitre 4 • Séries
Autre méthode pour cet exemple :
on a, pour n ~ 2 :
,,,
1 · 2 . . . n
O o: : : : : : u11 = - - -
n · n ... n
1 . 2
2
~ - - = 2 ·
n · n
n
donc, d'après l'exemple de Riemann
(2 > 1) et le théorème de majoration
pour des séries à termes ~ 0 , la série
L u11 converge.
n ~ I
Onditquelquefoisque,siu
11 +
1 ---+ 1,
U n
noo
on est dans le « cas douteux » de la
règle d'Alembert. Ce cas est fréquent en
pratique.
Exemple:
n!
Nature de la série de terme général u 11 = - .
n"
• VnE ' f::I*, U11 > Ü
Un+ I
(n + l) ! n
11
(
n )n
(n + 1) 11 + 1 • ~ = n + l
· - - = - - -Un
On conclut, d'après la règle de d'Alembert : L Un converge.
n ~ I
Remarques:
1) si(un+ i) n'a pas de limite, il se peut que L un converge ou diverge.
Un
11 ~0
n ~O
Exemples :
• un= (2 + (- l )n)rn . Ici, (u, ,+i) n'a pas de limite et L u,, converge.
Un
n ~O
n ~O
• un = 2 + ( - l)n. Ici, (un+
1
)
n'a pas de limite et L un diverge.
u,,
n ~ O
n ~O
2) Si un+ i ---+ 1, il se peut que L un converge ou diverge.
Un noo
n ~ O
Exemples :
. Un+ ]
"
d'
• Un = - . Ici, - - ---+ 1 et L.., u 11 1verge
n
U n
noo
n ;;: I
l 1 . Un+ I
1 et
• Un = n 2' Cl, - - ---+
Un noo
L u n converg e.
n ~ I
Exemples de détermination de la nature d'une série à termes réels ;?: 0
Déterminer la nature de la série de terme général :
aJ(Jn 2 +n-n)"
1
b) (n!) l/11
1
l
c) ln sh -
- ln -
Jn
Jn
Argsh n
d) - - -
n ( ln n) 2
n
3 - 1
e) Arccos n 3 + 2
n Inn
f) ( Inn)"
g) (c;~t.