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0
c
'
D
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
La règle de d' Alembert interviendra
surtout lors de l'étude des séries
entières (ch. 6).
Dans le cas l = 1 , on ne peut pas
conclure quant à la nature de la série
2::u,,.
n ~O
Multiplication d' inégalités de même
sens, portant sur des nombres tous
;;::, O.
Autre méthode pour 2) :il existe À E IR
tel que 1 < À < e' et raisonnner
comme en 1), pour déduire:
Un--+ +oo
ll OO
4.2 • Séries à termes dans IR+
• en base 3 on obtient le développement triadique de x ,
+oo
x = L:Cnrn, où c 0 E N et ('
Les bases 8 et 16 (seize) sont utilisées en Informatique.
3) Règle de d'Alembert
Règle de d'Alembert
S . "\'
, . '
, 1
Ü Û
]
. (Un+I) d
01t L..,, un une sene a termes ree s > . n suppose que a suite - ua met
n ~ O
n
n ~ O
une limite finie l dans lR+ .
1) Si l < 1, alors L un converge
n ~O
2) Si l > 1, alors L Un diverge.
n ~O
Preuve
u,,+1
l + 1
1) Supposons - - ----+ l < l ; notons À = --, de sorte que I < À < 1.
U 11
1100
2
Puisque 0 < À < 1, la série géométrique L .À.
11 converge.
n~O
Comme u,,+i -----+ l < À, il existe NE N tel que: '
noo
On a alors, pour tout n ~ N + 1 :
u,,
donc, après simplifications :
Comme 0 :::;;; À < 1, la série géométrique L .À.
11 converge, et donc, par le théorème de majoration pour
n ~O
des séries à termes dans IR+, on conclut que la série L u11 converge.
Un+ I
f
.
2) Supposons - - ----+ > 1. Il existe N E N tel que:
Un
noo
'
~
.
Un
Ainsi, (u,, ),, ~N est croissante. On a alors: ' 0, et donc u,, -f+ O.
Ainsi, Lu,, diverge grossièrement.
n ~O
Remarques:
1100
•
7) Appliquer la règle de d'Alembert à une série Lu,, (à termes > 0) revient à comparer
L u 11 à des séries géométriques.
n ~O
2) On essaiera d'appliquer la règle de d'Alembert lorsque le terme général u 11 «contient» des
exponentielles ou des puissances n è mes .
233
0
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La règle de d' Alembert interviendra
surtout lors de l'étude des séries
entières (ch. 6).
Dans le cas l = 1 , on ne peut pas
conclure quant à la nature de la série
2::u,,.
n ~O
Multiplication d' inégalités de même
sens, portant sur des nombres tous
;;::, O.
Autre méthode pour 2) :il existe À E IR
tel que 1 < À < e' et raisonnner
comme en 1), pour déduire:
Un--+ +oo
ll OO
4.2 • Séries à termes dans IR+
• en base 3 on obtient le développement triadique de x ,
+oo
x = L:Cnrn, où c 0 E N et ('
Les bases 8 et 16 (seize) sont utilisées en Informatique.
3) Règle de d'Alembert
Règle de d'Alembert
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01t L..,, un une sene a termes ree s > . n suppose que a suite - ua met
n ~ O
n
n ~ O
une limite finie l dans lR+ .
1) Si l < 1, alors L un converge
n ~O
2) Si l > 1, alors L Un diverge.
n ~O
Preuve
u,,+1
l + 1
1) Supposons - - ----+ l < l ; notons À = --, de sorte que I < À < 1.
U 11
1100
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Puisque 0 < À < 1, la série géométrique L .À.
11 converge.
n~O
Comme u,,+i -----+ l < À, il existe NE N tel que: '
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On a alors, pour tout n ~ N + 1 :
u,,
donc, après simplifications :
Comme 0 :::;;; À < 1, la série géométrique L .À.
11 converge, et donc, par le théorème de majoration pour
n ~O
des séries à termes dans IR+, on conclut que la série L u11 converge.
Un+ I
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2) Supposons - - ----+ > 1. Il existe N E N tel que:
Un
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Ainsi, (u,, ),, ~N est croissante. On a alors: '
Ainsi, Lu,, diverge grossièrement.
n ~O
Remarques:
1100
•
7) Appliquer la règle de d'Alembert à une série Lu,, (à termes > 0) revient à comparer
L u 11 à des séries géométriques.
n ~O
2) On essaiera d'appliquer la règle de d'Alembert lorsque le terme général u 11 «contient» des
exponentielles ou des puissances n è mes .
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