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Chapitre 4 • Séries
Rôles symétriques des suites (d,, ),, ;;;, 1
et (e,,)11;;, 1.
Mise en évidence du type de nombres
réels pour lesquels il n'y a pas unicité du
développement décimal.
Par exemple, le nombre décimal 0,54
admet les deux développements
décimaux suivants :
0,539 999 ... et0,540000 . . .
L'ensemble {n E N*; dn #en } étant une partie non vide de N, nous pouvons considérer son plus
petit élément, noté N. On a donc :
On peut supposer, par exemple, e N < dN.
+oo
+oo
On a alors : dN 10-N + L d 11 10- n = eN 10- N + L en 10- n,
n=N+I
n=N+ I
+oo
d'où:
(dN -eN)lO-N = L (e,, -d,,)1011
•
n=N+ I
D'une part,
D'autre part : \ln ): N + 1 , 0 ~ le,, - dn 1 ~ 9,
donc:
1 ~ (en -dn) lO-n l ~ ~ len -dnl lO-n ~ ~ 9.10- n = 10-N.
n=N+ I
n=N+ I
n=N+I
On a alors nécessairement : {
dN - eN = l
\:/n )= N+l, e 11 -d 11 =9.
Mais, comme les d 11 et en sont dans {0, ... ,9}, on déduit : \ln ): N + 1 , (en = 9 et d 11 = 0).
Ceci montre que x admet exactement deux développements décimaux :
et
où eN E {O, ... ,8) etdN = eN + 1.
En particulier, x est décimal.
Réciproqueme nt, il est clair que, six est décimal, alors x admet au moins deux développements
décimaux, et que ceux-ci sont du genre précédent.
Résumons l'étude :
Tout élément x de IR:+ admet au moins un développement décimal illimité :
+oo
X= LdnlO-n, OÙ:
n=O
que l'on écrit :
{
Vn EN, dn EN
1
V n E N*, 0 ~ dn ~ 9 '
Si x n'est pas décimal, alors x admet un développement décimal unique.
Si x est décimal et non nul, alors x admet exactement deux développements
décimaux, du genre :
où eN E {O, .. . ,8} etdN = eN + 1.
L'étude précédente s'adapte facilement e n remplaçant 10 par n'importe quel entier ): 2.
En particulier :
• e n base 2 on obtient le développement dyadique de x,
+oo
x = Lb,,T", où b 0 EN et (\ln): 1, b,, E {0, 1))
n=O