Cf. aussi Analyse MPSI, 3.2.2.
Un et v,, sont les approximations
décimalesdexà 1011 près,pardéfaut
et par excès respectivement.
~-~---~•!R
un-x
VII
,..
Rappelons que l'on appelle nombres
\J.j décimaux les nombres de la forme
al011
, (a,n) E Z X N,
cf. Analyse MPSI, § 3.2.2 2).
4.2 • Séries à termes dans IR+
On peut donc se ramener au cas x E [O; 1 [.
Nous allons étudier l'existence et l'unicité de (dn)nEN• pour x E [0; l [.
1) Existence
Pour tout n de N, notons : u 11 = io11 E(l0
11 x) et
On a donc:
Vn EN,
1onu 11 EN et
1
Un~ X~ V11
on a:
V 11 - Un = 10- n.
{
lOE(lO''x) ~ ion +
1
x < E(l0'
1
+
1
x) + 1
E(l0"+
1
x) ~ ion+
1 x < 10(EOO" x) + 1) ·
lOnvn EN
Puisque lOE(lO"x) , E(l0
11 +
1
x), E(l0
11 +
1
x)+l, 10(E(l0
11 x)+ 1) sont entiers, on déduit:
{
lOE(l0'
1
x ) ~ E(10"+
1
x)
1
{ U11 . . ~ u11+•.
E(l0"+
1
x) + 1 ~ 10E(lOnx)+1 '
v 11 + 1 ~ Vn
(
)
d'où:
Ainsi, (un)n ~o et (v 11 )n ~o sont adjacentes, donc convergent vers une même limite l.
Comme de plus (Vn E N, u 11 ~ x ~ v,,), on obtient l = x, et on conclut:
Un ---+X et Vn ---+ X.
11 00
noo
Montrons maintenant que un+i (nombre décimal ayant n + l chiffres après la virgule) a les
mêmes n premières décimales que Un.
Soitn EN.
On a:
•Un ~ u 11 +1, d'où: lOnu,, ~ IOnun+I
• u 11 +1 = 10-(n+ l)E(lü
11 +
1 x) < 10-n (E(lOn x) + 1) =Un+ 10-n,
Ainsi: lOnu,, ~ 10nu,,+1 < 10nu 11 + 1, et l0 11 u 11 EN.
Ceci montre :
E(lO"un+ 1 ) = IO''u,, . Comme lO"u 11 + 1 est un nombre décimal n'ayant que
n + l chiffres après la virgule, il en résulte que u,, et u,,+ 1 ont les mêmes décimales jusqu'au
rang n.
Notons do = 0 et, pour n E N*, d,, la n ème décimale de u 11 • On a ainsi :
Il
Vn EN, Un= do,d1d2 ... dn = LdklO-k .
k=O
+oo
Ceci montre que x admet au moins un développement décimal : x = L d,, 10- n .
n=O
2) Etude de l'unicité
Il est clair d'abord qu'il peut ne pas y avoir unicité d'un développement décimal.
l
l
Par exemple:
10
= 0,100 ... 0 ... et
10
= 0,099 ... 9 ....
Soit x E [0; 1 [. Supposons que x admette deux développements décimaux distincts :
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