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Chapitre 4 • Séries
4.2.4
Résultatfondamental,qui sera aussi utilisé
dans l'étude des séries entières (ch. 6).
Calcul du reste d'ordre n d'une série
géométrique convergente.
Changement d'indice p = k - n - 1,
nfixé.
Cette étude(§ 2) est peu utilisée dans les
exercices.
Si3no ~ 1,d,, 0 :/= 9,alors :
+oo
o ~ L:: d" 1011 < 1 .
11= 1
Série géométrique
1) Série géométrique dans IK
Pour tout r de IK, la série L rn est appelée série géométrique.
n;:.O
Soit r E IK. La série géométrique L r n converge si et seulement si Ir 1 < 1. De plus,
n;:.O
si Ir 1 < 1 , alors :
Preuve
1) Si lrl ~ 1, alors (Vn E N, Ir" 1 ~ 1) , donc r"+ 0 , I>" diverge grossièrement.
noo
n;;,o
2) Si lrl < 1, alors:
n
1 - rn+I
1
~ rk = - - - -----+ - - , donc ~ r" converge et
L
1 - r
noo 1 - r
L
k=O
n;:.o
+oo
1
L r " = - -.
n=O
1 - r
Remarque:
Soit r E OC tel que lr l < 1. Pour tout n de N , on a:
+oo
+ oo
11 +1
L
rk = r"+' LrP = _ r _ .
1 - r
k = n + I
p = O
2) Développement décimal d'un réel positif ou nul
Soit x E JE.+ .
On appelle développement décimal de x toute suite (dn )n;;,O telle que :
et on écrit alors : x = do ,d1 d1 . .. dn ...
On remarquera que la condition (2) assure la convergence de la série L d 11 l o-n.
11;;:,o
+oo
+oo
(1)
(2)
(3)
•
Comme 0 ~ Ldn10-n ~ L9 · 1011
~ 1, on a (sauf si Vn ~ 1, d 11 = 9 ), d 0 = E (x).
n=I
n= I