L'indexation est notéen ): 2 afin que
1
le terme général
fJ existe.
na (Inn)
Intervention d'une intégrale, pour le cas
a= 1.
On obtient une majoration des sommes
partielles par une constante.
On minore les sommes partielles par une
expression de limite +oo.
On compare le cas f3 < 1 au cas
f3 = 1.
4.2 • Séries à termes dans IR+
3) Séries de Bertrand
L'étude des séries de Bertrand, ci-dessous, est hors-programme, mais d'un usage commode.
1
Soit (a ,/J) E JR
2 . On s'intéresse à la série L
.B , appelée série de Bertrand.
n ;;,2 na (ln n)
1 +a
1-a
.B
J)Sia > 1,ennotant y= - 2
- , ona: nY na(lnn).B =n 2 (1nn)- ~O,
et donc (cf. Prop. 1), la série étudiée converge.
1
2)Sia < l, commen
.B =n 1 -a (lnn)-.B ~ +oo, ilexisteun indice àpartirduquel
na(lnn)
noo
1
1
.B
): - , et donc la série étudiée diverge.
na(lnn)
n
3) Supposons a = 1 .
Nous allons utiliser une comparaison série-intégrale, cf. aussi plus loin, 4.3.7 p. 255.
1
Comme la fonction x t----*
.B décroît au voisinage de +oo (il suffit d'étudier sa dérivée), il existe
x(ln x)
N ): 3 tel que :
Vn ): N ,
r + I
1
n
1
r }
JN x(lnx).B dx ~ k; k(lnk).B ~ JN-I x(lnx).B dx.
• Si fJ > 1, alors, pour tout n tel que n ): N :
n
l
r 1
['"n dy
k; k(lnk).B ~ JN-1 x (lnx ).B dx Y~JU" l1n(N- 1) y.B
(
)
1- ,B
ln(N - 1)
-(lnn)
1
- .B
fJ - 1
1
D'après le lemme fondamental, il en résulte que L
.B converge.
n;;, 2 n(ln n)
• Si fJ = 1 , alors, pour tout n tel que n ): N :
(1n (N - 1) y - .B
~-----fJ - 1
n 1 1n+I dx l ln(n+I) dy
L -- ):
-- =
- = lnln(n + 1)-lnlnN ~ + oo,
k=N kln k
N
X ln x
lnN
y
noo
1
donc L -- diverge.
,, ;;, 2 n lnn
1
1
•Si fJ < 1 , alors, comme
.B ): - - ,
n(lnn)
nlnn
Résumons l'étude :
Exemple de Bertrand
1
L
.B diverge.
n;;, 2 n(ln n)
Pour tout (a,{J) E IRt 2 fixé,
1
L
f3 converge si et seulement si :
2
na (lnn )
n;;,
a> 1
ou
(a = 1 et f3 > 1).
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