Chapitre 4 • Séries
Intervention d'une intégrale. Voir aussi
plus loin, § 4.3.7, comparaison d'une
série à une intégrale.
~ Théorème très important.
.-t
0
N
@
..._,
.s:;
Ol
·;::
>- 0.
0
u
228
La règle« n" u,, », bien que n'étant pas
au programme,est d'une utilisation très
commode dans les exercices.En pratique,
on détaillera comme dans la preuve ciaprès.
e-(lnnJ" n'admet pas d'équivalent
«plus simple »que lui-même, d'où l'essai
d'application de la règle n" u,, .
l
Si a= 1, L - diverge car il s'agit de la série harmonique, cf. 4.1.1 2) Exemple 2) p. 221.
11 ;;, 1 na
1
1
1
1
Si 0 < (){ < 1, L a diverge, car, pour tout n de N*, a ~ - > 0 et L - diverge.
n;;:. 1 n
n
n
11 ;;;: 1 n
Supposons enfin a > 1.
Soit N E N tel que N ~ 2. On a, pour tout n de N tel que n ~ 2 :
n: : : ( 1~ 1 t~ dt= a~ l ((n -
1
1)a- 1 - na
1
- 1) '
d'où: t n: ::( a~ 1 t ( (n _ ~)a-1 - nL1) = a~ 1 ( 1 - N~-1) ::( a ~ 1 ·
11 = 2
11 = 2
1
D'après le lemme fondamental, il en résulte que ""'"' - converge.
~na
n ~ I
Résumons l'étude :
Exemple de Riemann
! Pour tout a E -~ -- fi - xé, L n~ converge_s _i_e _t_s _e_u _l_ e_ m _e_n _t_s _i_ a _ > - - 1- . ---------..
l
n;;, J
2) Règle 1{' u,,
Règle nau 11
Soit L un une série à termes dans ~+.
n;;;:O
S'il existe a E] 1; +oo[ tel que na Un ----* 0, alors L Un converge.
noo
n;;,O
Preuve
Il existe N E N* tel que : 'Vn ~ N, 0 ::( na u,, ::( 1, soit :
1
Comme ""'"' - converge (car a > 1 ), le théorème de majoration permet de déduire la convergence de
~na
n;;;: 1
Exemple:
Nature de la série de terme général u 11 = e - ( 1 "
11 > ' , pour a E ~ fixé.
Pour tout a de IR' .f. : na u 11 =exp( a ln n - (ln n)a).
• Si a > 1, alors, pour tout a > 0 fixé, aln n - (ln n)a ~ -oo, et donc na u,, ~O .
1100
1100
En particulier, n
2 u,, ~ 0,
11 00
•Si a= 1, alors (vn E N*,
et donc L u,, converge.
n ~ I
1)
.
Un = ~ , donc L Un diverge.
n ~ t
• Si a < 1, alors, pour tout n ~ 3,
1
e- (lnn)" ~ e - lnn = - ,
n
donc L u 11 diverge.
n ~ 2
On conclut : la série de terme général u 11 = e- 1 .
•