~ Théorème utile en pratique.
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Théorème très utile en pratique.
Son utilisation est éventuellement
combinée avec celle du théorème de
majoration.
On remarque ainsi que, si u 11 ~ v,, et
1100
si, à partir d'un certain rang, v 11 ~ 0,
alors,àpartird'uncertainrang,u,. ~ O.
Attention: le théorème d'équivalence ne
peut être appliqué qu'à des séries à
termes ~ O.
4.2.3
4.2 • Séries à termes dans IR+
3) On peut, dans le Théorème 1, remplacer l'hypothèse (Vn E N, 0 ~ un ~ vn) par
l'hypothèse plus faible suivante:
(3 no E N, Vn ~ no , 0 ~ Un ~ V11).
Soient Lun, Lan deux séries à termes dans IR+ .
n ~O
n ~O
{
Un= 0 (an)
/1.00
Si
Lan. converge
n. ~ O
l
Preuve
, alors L un converge.
n. ~0
Il existe N E N et C E lR+ tels que: Vn ~ N , 0 ~ Un ~ Can.
Comme L an converge, L Can converge, puis (théorème 1) L Un converge, et donc L Un converge.
n ~O
n ~N
n ~ N
n ~ O
Théorème d'équivalence
Soient
l
deux séries à termes réels.
n ~ O
n. ~ O
{
Vn EN,
Si Un "' Vn.
/1.00
0 ~ ~1
~
, alors les deux séries L..,, un et
sont de même
Preuve
1) Montrons d'abord : 3N E N , Vn ~ N, Un ~ O.
Puisque u 11 ~ Vn , il existe N E N tel que : Vn ~ N ,
1100
et donc: Vn ~ N ,
0 ~ u 11 ( ~ 2v 11 ).
n ~O
lu11 - Vn l ~ v,,,
1
u,, = 0(vn) 1
2) Puisque Un ~ v 11 ===}
n oo
. ,
n oo
Vn = 0 (un)
le Théorème 2 permet de conclure :
n OO
L u,, converge si et seulement si L v,, converge.
n ~O
n ~O
Remarque:
•
L'hypothèse vn ~ 0 est essentielle et on veillera à ne pas appliquer le théorème d'équivalence à des séries à termes complexes ou à termes réels de signe variable (cf. 4.3.6 Exemple
p.252).
Séries de Riemann
1) Exemple de Riemann
1
Soit a E lR fixé. Nou s allons déterminer la nature de la série '°' - , appelée série de Riemann.
L..., na
11 ~ 1
l
l
Si a ~ 0, alors - + 0, donc '°' - diverge (grossièrement).
na n oo
~na
227