Chapitre 4 • Séries
4.2.1
Si une série est à termes réels ;;:: 0, la
suite des sommes partielles est
croissante.
Pour une série à termes réels ;;:: 0, il n'y
a que deux possibilités:
·ou bien la série converge
·ou bien la suite des sommes partielles
tend vers +oo .
4.2.2
~ Théorème très utile en pratique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
fJ
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Q
226
Cas des séries à termes dans lIL.
• Pour montrer qu'une série à termes
réels;;:: 0 converge, on peut essayer de
majorer son terme général par le terme
général d'une série convergente.
• Pour montrer qu'une série à termes
réels ;;:: 0 diverge, on peut essayer de
minorer son terme général par le terme
général ;;:: 0 d'une série divergente.
lemme fondamental
Soit L Un une série à termes dans IR+ . Pour que L Un converge, il faut et il suffit
n~
n~
n
qu'il existe M E IR+ tel que: 'Vn EN, L Uk ::::; M.
k=O
Preuve
J
Puisque (Vn EN, u 11 ;;:: 0), la suite (S 11 ) 11 ;,, 0 des sommes partielles de la série L Un est croissante. Pour
11 ~0
que (Sn)n ;,,o converge, il faut et il suffit que (Sn)n ;,,o soit majorée (cf. Analyse MPSI, 3.2. 1).
•
Remarques:
[
\fn E N, u1 1 ~ 01
11
+oo
1 ) Si L u" converge '
n~O
alors \fn EN, Luk ~ Luk.
k=O
k =O
[
Vn E N, Un ;;:: 01
2 ) Si L u 11 diverge '
n )O
alors
Il
""'Uk ----+ +oo.
~
noo
k=O
Théorèmes de comparaison
Théorème 1
Théorème de m~joration
Soient L Un, L Vn deux séries à termes réels. Si
n ;>-0
n;>-0
L u 11 converge.
n ;>-0
Preuve
n
n
+oo
On a: Vn EN, L Uk ::::; L Vk ::::; L Vk .
k=O
k =O
k=O
D'après le lemme, il s'ensuit que L u 11 converge.
n ) O
Remarques:
l
'Vn E N, Ü ::::; Un ::::; Vn
L Vn converge
n;>-0
1) On peut aisément adapter le Théorème 1 au cas des séries à termes dans !EL .
, alors
J
•
L 1
d
bl
d
1
(
u
"'' { U n ::::; Ü ) d' , d. 1 , .
e pus commo e nous sem e,cepen ant, orsque vn E !'"
0
, etu 1er es senes
Vn ::::;
des opposés : L -un,
11 )0
L:-vn.
2) Par contraposition du Théorème 1, on obtient:
[
Vn E N, 0 ::::; U n ::::; Vn 1
Si
L Un diverge
'
n )O
alors L v 11 diverge.
11 ~0