Toute application linéaire en dimension
finie est continue, cf.§ 1.3.2 Prop. 1.
'
Bien noter qu'ici on suppose que les
' -
deux séries L Un, L v,, convergent
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
~
.s::
Ol
·;::
n~O
n~O
Cas particulier des séries à termes
dans IR:+.
L
4.2 • Séries à termes dans IR:+
Preuve
Appliquer la Prop. 2 à C considéré comme un IR-ev muni de la base ( 1, i).
On a plus généralement le résultat suivant.
Soient E,F deux IK-evn,f E /X (E,F), L Un une série à termes dans E.
n ;;,O
Si L Un converge (dans E), alors L f (un) converge (dans F) et:
n ;;,O
n ;;,O
+oo
( +oo )
~f(un) = f ~Un .
Preuve
Puisque f est linéaire, on a: Vn E N, t f (uk) = f (t Uk).
k=O
k=O
n
+oo
( n )
(+oo )
Comme L Uk ~ L Uk et que f est continue, on déduit f L Uk ~ f L Uk .
k=O
k=O
k=O
k=O
Ainsi:
Soient L Un, L v 11 deux séries convergentes à termes réels, telles que :
n ;;,O
n ;;,O
Vn E N, Un , ::::; Vn.
+oo
+oo
Alors:
LUn , : : : : ; LVn.
n=O
n=O
Preuve
n
n
\fn E N, L Uk ,::::; L Vk, et passer aux limites lorsque n tend vers l'infini.
k=O
k=O
Remarque:
•
•
•
Nous verrons plus loin (4.2.2 Théorème 1) que si (Vn E N, u,, ;;:: 0), la convergence
de L v,, entraîne celle de L un .
n ~O
n ~O
>- 0.
0
u
4.2 Séries à termes dans IR+
Dans ce§ 4.2, les séries envisagées sont à termes dans IR+, sauf dans § 4.2.4. On comparera utilement ce § avec le § analogue sur les intégrales sur un intervalle quelconque (§ 3.1 pp. 154164).
225
finie est continue, cf.§ 1.3.2 Prop. 1.
'
Bien noter qu'ici on suppose que les
' -
deux séries L Un, L v,, convergent
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
~
.s::
Ol
·;::
n~O
n~O
Cas particulier des séries à termes
dans IR:+.
L
4.2 • Séries à termes dans IR:+
Preuve
Appliquer la Prop. 2 à C considéré comme un IR-ev muni de la base ( 1, i).
On a plus généralement le résultat suivant.
Soient E,F deux IK-evn,f E /X (E,F), L Un une série à termes dans E.
n ;;,O
Si L Un converge (dans E), alors L f (un) converge (dans F) et:
n ;;,O
n ;;,O
+oo
( +oo )
~f(un) = f ~Un .
Preuve
Puisque f est linéaire, on a: Vn E N, t f (uk) = f (t Uk).
k=O
k=O
n
+oo
( n )
(+oo )
Comme L Uk ~ L Uk et que f est continue, on déduit f L Uk ~ f L Uk .
k=O
k=O
k=O
k=O
Ainsi:
Soient L Un, L v 11 deux séries convergentes à termes réels, telles que :
n ;;,O
n ;;,O
Vn E N, Un , ::::; Vn.
+oo
+oo
Alors:
LUn , : : : : ; LVn.
n=O
n=O
Preuve
n
n
\fn E N, L Uk ,::::; L Vk, et passer aux limites lorsque n tend vers l'infini.
k=O
k=O
Remarque:
•
•
•
Nous verrons plus loin (4.2.2 Théorème 1) que si (Vn E N, u,, ;;:: 0), la convergence
de L v,, entraîne celle de L un .
n ~O
n ~O
>- 0.
0
u
4.2 Séries à termes dans IR+
Dans ce§ 4.2, les séries envisagées sont à termes dans IR+, sauf dans § 4.2.4. On comparera utilement ce § avec le § analogue sur les intégrales sur un intervalle quelconque (§ 3.1 pp. 154164).
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