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8-224
Chapitre 4 • Séries
Propriété fréquemment utile dans les
exercices.
·Un exemple de deux séries divergentes
dont la somme est convergente.
•Un exemple de deux séries divergentes
dont la somme est divergente.
Ainsi, pour l'étude de la convergence
d'une série à valeurs vectorielles et pour
le calcul de la somme (lorsque cette
série converge), on peut se ramener à
l'étude des séries composantes, mais
ce n'est pas toujours judicieux.
Par contraposition:
Lu, , diverge {==}
n;)O
1
L Ré(u 11 ) diverge
n ~ O
ou
.l::Im(u,,) diverge
n;;,o
Attention au connecteur logique« ou ».
Remarque:
D'après la Prop. 1, l'ensemble A 1 (E) des suites (un)n ;;,o à termes dans E telles que Lun
converge est un lK-ev et l'application A 1 (E) ----+ E
est OC-linéaire.
+oo
(un)n ;;,o f----+ L Un
n=O
On déduit de la Prop. 1 les propriétés suivantes :
1) Pour toute série L Un et tout À de lK - {0 }, les séries L Un et L Àu,, sont de même nature.
n;;,o
n;;,o
n;;,o
2) Si L Un converge et L Vn diverge, alors L (un + vn) diverge (raisonner par l'absurde, en
n;;,o
11 ;;,o
11;;,o
remarquant: vn = (un + vn) - u 11 ).
Remarque:
Si L un et L vn divergent, on ne peut pas (sans hypothèse supplémentaire) déduire la
n;;,o
n;;,o
nature de L (un + v,,). Par exemple:
n;;,o
{
\ln EN, Un= 1 1 ' °"' ' °"' . ' °"'
•
\1
_ _
: L.., u 11 , L.., Vn divergent, L.., (u 11 + Vn) converge
n E N, v,, -
1
, 0
, 0
' O
n - ; : : : : : .
n 9
n:;::;
{
\ln E N, u,, = 1 1 ' °"' ' °"' ' °"'
.
•
\1
_
: L.., u,,, L.., v 11 , L.., (u,, + v,,) divergent.
n EN, Vn - 1 n;;,o
n;;,o
n;;,o
r ::::is.1.T.at:tt.:rn_r:ï_1..._ ___________________________ ......
'
Soient E un IK-evn de dimension finie , B = (e1 , ... ,em) une base de E, (un)nE N une
suite dans E. Notons, pour chaque n de N, (un,i)J ~i ~m les composantes de un dans
la base B:
m
Vn EN, Un= LUn,iei.
i= l
Alors L un converge (dans E) si et seulement si, pour chaque
n;;,0
L un,i converge (dans IK), et, dans ce cas, on a:
n ;;,0
+oo
m
+oo
LUn = L (Lu n,i)ei.
n=O
i=I n=O
Preuve
Appliquer 1.1.9 1) Prop. 2 p. 32 à la suite ( t uk) des sommes partielles.
k=O
n;;,O
Soit L un une série à termes complexes.
n ;;,O
On a:
de {1 , . .. ,m},
•
l (
L un converge) {:::::::} ( { ~Ré( un) converge) {: : : : : : : } (2: un converge).
n;;,o
L_; Im(un) converge
n;;,o
n ;;,O