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Preuve
+oo
En notant S = L U k, on a :
k =O
4. 1 •Séries à termes dans un evn (1 re étude)
Rn = S - Sn ----+ S - S = O.
noo
•
Les méthodes à retenir
Généralités
• Pour étudier la nature d'une série, dans certains exemples simples, en particulier lorsqu'intervient une séparation en termes d'indices pairs ou d'indices impairs, on peut essayer de se ramener à la définition de la convergence d'une série en formant les sommes partielles (ex. 4.1.1).
• Pour montrer qu'une série L un diverge, il suffit, et c'est le cas dans quelques exemples très simples, de monIl
trer que la suite (un)n ne converge pas vers 0 (ex. 4.1.2); on dit dans ce cas que la série diverge grossièrement.
• Pour étudier la nature d'une suite (a 11 ) 11 , on peut, si cela paraît plus commode, étudier la nature de la série
L(an+1 - an), puis appliquer le lien suite/série (cf. plus loin, l'exercice-type résolu page 236).
n
Exercices
4.1.1 Soit (un )n:;~o une suite dans E. Montrer que , si
4.1.2 Montrer que la série L sin n diverge.
n ) Ü
L u 2 p converge
p ) O
diverge.
4.1.2
En pratique, avant d'écrire cette égalité,
s'assurer que les séries envisagées sont
convergentes.
On écrit l'égalité sur les sommes
partielles d'indice n, puis on fait tendre
n vers l'infini.
diverge, alors Lu,,
n ) O
Structure algébrique de l'ensemble des séries
convergentes
Les séries envisagées dans ce § 4.1.2 sont à termes dans un IK -evn E.
Si L Un et L Vn convergent, alors, pour tout À de IK, L (un + Àvn) converge, et :
n;;,O
n;;,O
n;;,O
+oo
+oo
+oo
L(un + Àvn) = LUn +À L Vn.
n=O
n=O
n=O
Preuve
Il suffit d'appliquer l .1 .9 2) Prop. 2 p. 32 aux suites des sommes partielles, en remarquant :
n
n
n
'r/n E N , L(Uk + ÀVk) = I>k +À L Vk .
•
k=O
k = O
k =O
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