Chapitre 4 • Séries
Nous ret rouverons plus loin la
divergence de la série harmonique
1
L - lors de l'étude de l'exemple de
11;;::: 1 n
1
Riemann," ' - ,a E IR fixé
~ n"
11 ~ 1
(cf.§ 4.2.3 Th. p. 228).
Exercice 4.1.2.
_D A~. ention à ne pas confondre ici suite et
se ne.
'
. .
-00
c
::J
0
(V)
......
0
g
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
222
On dit qu'il y a télescopage,d. aussi plus
loin,§ 4.3.8 1) b).
Par définition, une série à éléments
dans E converge si et seulement si la
suite des sommes partielles admet une
limite dans E.
La notion de reste d'ordre n n'a de sens
que si la série considérée converge.
On a ainsi:
+oo
VnE N, L:uk=S 11 +Rn .
k=O
1
1
1
111
_ 1
1
m
>- 1 + - +2·-+4·-+ ... +2
· - = 1 + - ~m+oo
,,,.
2
4
8
2m
2 1100
1 .
et donc L - diverge.
11 ;;, 1 n
1
· - ~o.
n 11 00
3) Lien suite/série
••
Soit (an)nE N une suite à termes dans E.
La suite de terme général an converge si et seulement si la série de terme général
an+ 1 - an converge.
Preuve
On a, pour tout N E N, par simplification de termes deux par deux:
N
L(a,,+1 - a,,)= (aN+ 1 - aN) + (aN - aN - 1) + · · · + (a1 - ao) = aN+ 1 - ao.
11=0
N
1) Si la suite de terme général a 11 converge, a 11 ~ f E E, alors " '(a 11 +1 - an)
1100
L..t
n=O
donc la série de terme général a,,+ 1 - a,, converge.
~
Noo
e -ao,
2) Réciproquement, si la série de terme général a,,+ 1 - a,, converge, il existe SE E tel que
N
" 'ca,,+1 - an) ~ S, et alors aN+1 - a 0 ~ S, a N+ 1 ~ a 0 + S, aN ~ a 0 + S,
L...,
Noo
Noo
Noo
Noo
n=O
donc la suite de terme général a,, converge.
4) Reste d'ordre 11 d'une série convergente
Soit L un une série à termes dans E, convergente. Pour chaque n de N, la somme
n;;,O
de la série L uk (qui converge d'après 2) Prop.) est appelée le nème reste
k ;;,n+ I
(ou : reste d'ordre n ) de la série et souvent notée Rn
+oo
Vn E N, Rn = L Uk.
k=n+l
Soient L un une série à termes dans E, convergente, et, pour chaque n de N, Rn le
n;;,O
nème reste. On a alors : Rn ----+ O.
J
l
noo
.