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0
u
Exercice 4.1.1.
n
L'égalité Sn = L Uk exprime la
k=O
somme partielle S,. à l'aide des termes
généraux Uk.
L'égalitéu,. =Sn - S11- 1 exprime le
terme général Un à l'aide des sommes
partielles.
Ces deux exemples illustrent la remarque
précédente.
On s'intéresse aux sommes partielles
dont l'indice est une puissance de 2.
l
4. 1 •Séries à termes dans un evn (1 re étude)
Preuve
n
n
no- 1
1) Si L un converge, alors, comme Vn ~ no, L Uk = L Uk - L U k,
n )O
k=no
k=O
k=O
+oo
+oo
no- 1
L U n converge, et L Uk = LUk - L Uk.
n ) no
k=no
k=O
k=O
2) Si L u 11 converge, alors, comme Vn ~ n 0 ,
n ~n 0
L u 11 converge.
n )O
2) Condition nécessaire de convergence d'une série
•
Si la série "'Un converge, alors Un -----+ O.
]
L...,,
noo
n:;;,O
- - - - - - -
Preuve
n
+ oo
En notant S11 = L Uk et S = L Uk, on a :
k=O
k = O
et donc u 11 -----+ S - S = O.
noo
•
Lorsque un-f-+ 0, on dit que la série LUn diverge grossièrement. Par exemple, L(-l )n
1100
Il ~
Il ~
diverge grossièrement.
Remarque:
La réciproque de la Prop. précédente est fausse; il se peut que:"' u 11 diverge et u 11 -----+O.
L....,
noo
Exemples:
1) Un = ln (n + 1) - ln n (pour n ~ 1).
Il
• "'Uk =ln (n + 1)-----+ +oo,
L....,
noo
k= I
• U n = ln (i + ~)-----+O.
n 1100
2) Série harmonique
donc L un diverge.
n ~ I
n ~O
1
Il
1
La série L - est appelée série harmonique ; o n note souvent Hn = L -
n ) I n
k= I k
(cf. Analyse MPSI, exercice 3.1.18).
• Pour tout n E N* , en notant m = E (~) , on an ~ 2
111
, d'où
ln 2
= 1 + ~ + ( ~ + ~) + ( ~ + .. · + ~) + .. · + ( 2m- ~ + 1 + .. · + 2~" )
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