Chapitre 4 • Séries
lK désigne IR ou IC ; E désigne un IK -evn, 11 -11 sa norme.
4.1 Séries à termes dans un evn (1 re étude)
4.1.1
La considération du couple de suites
( (u,, )neN, ( S,, )neN) est un artifice:
on considère la suite (u,, )neN· mais on
s'intéresse à la convergence de la suite
(S,, )11eN.
\ "' } \ Lu,, désigne la série,
\...:..) n~O
..._,
.s::
Ol
b
220
+oo
Lu,, désigne la somme de la série, si
n=O
celle-ci converge.
Pour montrer que deux séries sont de
même nature, on peut montrer que la
convergence de l'une équivaut à la
convergence de l'autre, ou bien encore
on peut montrer que la divergence de
l'une équivaut à la divergence de l'autre.
Ainsi, la nature d'une série (convergence
ou divergence) n'est pas modifiée
lorsqu'on change l'indice de départ,
mais la somme (quand il y a
convergence) peut être modifiée.
Au lieu de Lu" ou L u,,,onpeut
n ~O
n ~no
donc noter L u,, s'il s'agit de n'étudier
Il
que la convergence de la série.
Généralités
1) Notion de série
On appelle série à termes dans E tout couple ((un)nE N, (Sn)nEN) formé d'une suite
(un)n EN à termes dans E et de la suite (Sn)nEN définie par:
n
Vn EN, Sn= LUk.
k=O
Une série numérique (resp. réelle, resp. complexe) est une série à termes dans ][(
(resp. JR, resp. C).
L'élément un s'appelle le nème terme (ou : terme général) de la série, et Sn s'appelle
la nème somme partielle de la série.
La série est notée L Un.
n;;,O
Le même vocabulaire est utilisé pour une suite (u 11 ) 11 ;;, 110 d'indice« de départ » n 0 , n 0 E N .
j
1) On dit que la série L u 11 converge (ou : est convergente) si et seulement si la
n;;,O
suite (Sn)nEN des sommes partielles converge (dans E), et, dans ce cas, la limite de
+oo
la suite (Sn)nEN est appelée somme de la série L Un, et notée L Un.
n;;,O
n=O
2) On dit que la série L Un diverge (ou : est divergente) si et seulement si elle ne
n;;,O
converge pas.
3) Deux séries sont dites de même nature si et seulement si elles sont toutes deux
convergentes ou toutes deux divergentes.
Changement d'indice de départ
Soient L Un une série à termes dans E , et no E N.
n;;,O
Les séries L un et L un sont de même nature, et, si elles convergent, on a :
n;;,O
n ;;,no
l __
+oo
no- 1
+oo
L Un = L Un + L Un.
n=O
n=O
n=no
lK désigne IR ou IC ; E désigne un IK -evn, 11 -11 sa norme.
4.1 Séries à termes dans un evn (1 re étude)
4.1.1
La considération du couple de suites
( (u,, )neN, ( S,, )neN) est un artifice:
on considère la suite (u,, )neN· mais on
s'intéresse à la convergence de la suite
(S,, )11eN.
\ "' } \ Lu,, désigne la série,
\...:..) n~O
..._,
.s::
Ol
b
220
+oo
Lu,, désigne la somme de la série, si
n=O
celle-ci converge.
Pour montrer que deux séries sont de
même nature, on peut montrer que la
convergence de l'une équivaut à la
convergence de l'autre, ou bien encore
on peut montrer que la divergence de
l'une équivaut à la divergence de l'autre.
Ainsi, la nature d'une série (convergence
ou divergence) n'est pas modifiée
lorsqu'on change l'indice de départ,
mais la somme (quand il y a
convergence) peut être modifiée.
Au lieu de Lu" ou L u,,,onpeut
n ~O
n ~no
donc noter L u,, s'il s'agit de n'étudier
Il
que la convergence de la série.
Généralités
1) Notion de série
On appelle série à termes dans E tout couple ((un)nE N, (Sn)nEN) formé d'une suite
(un)n EN à termes dans E et de la suite (Sn)nEN définie par:
n
Vn EN, Sn= LUk.
k=O
Une série numérique (resp. réelle, resp. complexe) est une série à termes dans ][(
(resp. JR, resp. C).
L'élément un s'appelle le nème terme (ou : terme général) de la série, et Sn s'appelle
la nème somme partielle de la série.
La série est notée L Un.
n;;,O
Le même vocabulaire est utilisé pour une suite (u 11 ) 11 ;;, 110 d'indice« de départ » n 0 , n 0 E N .
j
1) On dit que la série L u 11 converge (ou : est convergente) si et seulement si la
n;;,O
suite (Sn)nEN des sommes partielles converge (dans E), et, dans ce cas, la limite de
+oo
la suite (Sn)nEN est appelée somme de la série L Un, et notée L Un.
n;;,O
n=O
2) On dit que la série L Un diverge (ou : est divergente) si et seulement si elle ne
n;;,O
converge pas.
3) Deux séries sont dites de même nature si et seulement si elles sont toutes deux
convergentes ou toutes deux divergentes.
Changement d'indice de départ
Soient L Un une série à termes dans E , et no E N.
n;;,O
Les séries L un et L un sont de même nature, et, si elles convergent, on a :
n;;,O
n ;;,no
l __
+oo
no- 1
+oo
L Un = L Un + L Un.
n=O
n=O
n=no