3.6 • Intégra les doubles
Exemple:
Calculer l = f l f (x ,y) dx dy, où :
D = {(x,y) E JR
2 ; x;?: 0, 1 :;:;; xy:;:;; 9, x:;:;; y:;:;; 4x ). f (x ,y) = If+ JXY .
Effectuons le changement de variables défini par :
u= JI, v =.JXY .
On a:
l
x ;?: O
l u ;?: O
V ;?: 0
(x, y) E D { = }
1 :;:;; x y :;:;; 9 { = }
1 :;:;; v 2 :;:;; 9
X :;:;; y:;:;; 4x
{
l :;:;; u :;:;; 2
{ = }
1 :;:;; V :;:;; 3.
1 :;:;; u
2 :;:;; 4
En notant Ll = [l ; 2] x [l ; 3], l' application 'l/; : (x ,y) 1----+ (JI, FY),
C
1
-difféomorphisme de D sur Ll et la réciproque est 'l/;1
: (u,v) 1----+ (~, uv).
Le j acobien est donné par :
D'où:
ax
au
1= ay
au
ax
av
ay
av
~1 '
1 -~
= u 2 ~ = - 2-;;.
V
est un
l =fi (u+v)l -2~ 1 du du = 2 /
2 (!
3
( v+ :
2
) du) du= 2 f
2
[ ~ + ~: I= J du
=2/
2
(4 + ~~)du=2[4u+
2
3
6 1n ur = ~ (6 +u 1n2) ~ 20,014 ... .
En particulier, pour le passage en polaires :
J l f(x,y) dx dy =Ji f(pco se,p sin e)lp l de de ,
où (e ,p) f---+ (p cos e ,p sin e) est un C
1
-difféomorphisme de L' .l sur D .
Exemple:
Calculer I = f JD f(x, y ) dx dy, où:
x yJ l - x 2 - y 2
D = {(x, y ) E lR
2 ; 0 :;:;;x, O :;:;;y,x
2 +/:;:;; 1), f (x ,y) =
2 2
,
•
X + yy
1
0
X
215