"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
214
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
On admet que cette expression ne
dépend pas du choix de la
décomposition de la partie simple D en
réunion d'un nombre fini de parties
élémentaires D; d'intérieurs deux à
deux disjoints.
Exercices 3.6.10 à 3.6.15.
y
y
0
X
X
D = D1 uD2uD3
D =Di uD2 uD3 UD4
Di. D1, D 3 , sont élémentaires
D est simple
Di, D1, D3, D4 sont élémentaires
D est simple
Soient D une partie simple du plan,/ : D -----+ lK continue. On définit l'intégrale
(double) de .f sur D :
où D 1 , . •• , D N sont des parties élémentaires de Jœ.
2 , d'intérieurs deux à deux disjoints,
N
telles que D = LJ Di.
i=I
Nous admettons que la Proposition 1 se généralise au cas où D est une partie simple de IR
2 •
3) Propriétés
Nous admettons la proposition suivante.
Additivité de l'intégrale
Soient D, D' deux parties simples de Jœ.
2 d'intérieurs disjoints, f : D U D' -----+ lK
continue. Alors, D U D' est une partie simple du plan et :
f i f =f'f t+f'f f.
lnuD'
lo
10
1
Nous admettons le théorème suivant.
Formule de changement de variables
Soient D , '1 deux parties simples de Jœ.
2 , f : D -----+ lK continue. Alors :
f l t ( x ,y)dxdy =fi .f((u,v)ldudv ,
où l(u, v) désigne le jacobien de l(u,v) =
ax
- (u ,v)
ou
ay
- (u ,v)
au
ax
- (u,v)
av
ay
- (u ,v)
av