Le but de la Proposition 1, admise, est
de ramener l'intégrale double d'une
fonction sur une partie élémentaire D
du plan à une intégrale double sur JR 2 ,
en prolongeant f en dehors de D par
la fonction nulle.
y
0
3.6 ·Intégrales doubles
D = (x y) E lR ·
{
2 {
a ~ x ~ b}
'
'
.
{
2 {
c~y~d
}
1/J1 (y) ~ X ~ 1/J2 (Y)
y
y=
_,, .. .,. .......... ----. .......... "
y = 1/J1(y)
,,.....
.
/
.. ·
/
. .
/
.
I
. . [)
/
D
.
/
I
'
.
/
.
/
1
...
\
, ___ .,,.,,,..,,,,,.
......
c
Y = a
b
X
0
X
Soient D une partie élémentaire du plan , f : D ~ IK continue,
(
)
{
f(x,y) si (x,y) ED
X ,y !----+
0
sinon.
Alors:
~
1) pour tout x E JR , l'application f(x,.) est intégrable sur JR, et l'application
x i----+ L Î(x, ·) est intégrable sur lR
~
2) pour tout y E JR , l'application f (-,y) est intégrable sur JR, et l'application
y i----+ L ÎC..Y) est intégrable sur IR
On appelle intégrale (double) def sur D, et on note f l f(x,y) dx dy cette valeur
commune:
i
d 1cp,(x)
(
-
f(x,y) dx) dy
c
cp,(x)
l
b 1 î/J2(y)
(
f(x,y) dy) dx.
a
î/J, (y)
2) Intégrale sur une partie simple du plan
On appelle partie simple de IR
2 toute réunion d'une famille finie de parties élémentaires de IR
2 dont les intérieurs sont deux à deux disjoints.
213
de ramener l'intégrale double d'une
fonction sur une partie élémentaire D
du plan à une intégrale double sur JR 2 ,
en prolongeant f en dehors de D par
la fonction nulle.
y
0
3.6 ·Intégrales doubles
D = (x y) E lR ·
{
2 {
a ~ x ~ b}
'
'
.
{
2 {
c~y~d
}
1/J1 (y) ~ X ~ 1/J2 (Y)
y
y=
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y = 1/J1(y)
,,.....
.
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......
c
Y = a
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X
0
X
Soient D une partie élémentaire du plan , f : D ~ IK continue,
(
)
{
f(x,y) si (x,y) ED
X ,y !----+
0
sinon.
Alors:
~
1) pour tout x E JR , l'application f(x,.) est intégrable sur JR, et l'application
x i----+ L Î(x, ·) est intégrable sur lR
~
2) pour tout y E JR , l'application f (-,y) est intégrable sur JR, et l'application
y i----+ L ÎC..Y) est intégrable sur IR
On appelle intégrale (double) def sur D, et on note f l f(x,y) dx dy cette valeur
commune:
i
d 1cp,(x)
(
-
f(x,y) dx) dy
c
cp,(x)
l
b 1 î/J2(y)
(
f(x,y) dy) dx.
a
î/J, (y)
2) Intégrale sur une partie simple du plan
On appelle partie simple de IR
2 toute réunion d'une famille finie de parties élémentaires de IR
2 dont les intérieurs sont deux à deux disjoints.
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