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0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0.
0
u
212
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
• Pour montrer qu'une fonction ! : l x ! ' -----+ IR. , continue, ;;?: 0, n'est pas intégrable, on peut essayer d'appliquer la définition(§ 3.6.2 1) Déf.1), c'est-à-dire montrer que JI f n'est pas majorée lorsque Jet J ' sont des
l1 x J'
segments variables inclus respectivement dans l et I ' (ex. 3.6.2).
• Pour calculer une intégrale double, on peut essayer d'appliquer le théorème de Fubini, c'est-à-dire calculer des
intégrales simples emboîtées, ou effectuer un changement de variables approprié (ex. 3.6.5 à 3.6.9). Le passage en
coordonnées polaires est fréquent, surtout lorsqu'apparaît l'expression x 2 + y 2 .
• Le théorème de Fubini permet de calculer certaines intégrales simples, via des intégrales doubles. (ex. 3.6.8).
3.6.1 Soit
1
f : [O; +oo[
2 ----+ IR, (x ,y) t---+
2 2
·
1 + x
2 ( 1 +y )
a) Montrer que f est intégrable sur [0; +00[2.
b) Est-ce quef(O,·) est intégrable sur [O; +oo[?
3.6.2 Étudier l' intégrabilité de:
f: IR2----+ IR, (x,y) t---+ e - lxyl .
3.6.3 Étudier l'intégrabilité de :
f: IR2 ----+ IR, (x,y) t---+ e-
1
f a :JO; 1]
2 ----+ IR, (x,y) 1---+
2
2
(x +y )a
3.6.5 Existence et calcul , pour (a ,b ,c) E IR 3 fi xé tel que
a > 0 et b
2
- ac < 0, de:
f i2 e -(ax2+2bxy+cy2) dx dy.
3.6.6 Existence et calcul, pour a E IR fixé, de :
f L :+oo[2 (1 + x21 + y2)a .
3.6.7 Existence et calcul de:
ln ~
!1
X 4 dxdy.
[l:+oo[2 (x + y)
3.6.8 Soit (a ,b) E [0; +oo[
2 tel que a ~ b. Calculer
! • r xY dx dy, de deux façons et en déduire la
J [O: l]x[a:b]
1
1 xh - xa
valeur de l 'intégrale
dx.
0
ln x
3.6.9 Soit (a,b) E IR 2 tel que 0 < a < b. On note :
f: [O ; l] x [I; +oo[----+ IR,
(x,y) t---+ ae - axy -b e - bxy .
a) Montrer l'existence des intégrales
et
j = l + oo (11 f(x,y) dx) dy
et établir que :
l - J = ln b - ln a.
b) Est-ce quef est intégrable sur [0; l] x [l ; +oo[?
3.6.3
Intégrale sur une partie simple du plan
Dans cette section 3.6.3, nous reprenons, d'un point de vue un peu différent, l'étude des intégrales doubles fai te en lre Année (Analyse MPSJ, ch.12) .
1) Intégrale sur une partie élémentaire du plan
Une partie D de IR.
2 est dite élémentaire si et seulement s'il existe a,b ,c,d ~
(a ~ b, c ~ d), <(J1 ,
V y E]c;d [, 'l/J1(Y) < 'l/J2(Y)
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
• Pour montrer qu'une fonction ! : l x ! ' -----+ IR. , continue, ;;?: 0, n'est pas intégrable, on peut essayer d'appliquer la définition(§ 3.6.2 1) Déf.1), c'est-à-dire montrer que JI f n'est pas majorée lorsque Jet J ' sont des
l1 x J'
segments variables inclus respectivement dans l et I ' (ex. 3.6.2).
• Pour calculer une intégrale double, on peut essayer d'appliquer le théorème de Fubini, c'est-à-dire calculer des
intégrales simples emboîtées, ou effectuer un changement de variables approprié (ex. 3.6.5 à 3.6.9). Le passage en
coordonnées polaires est fréquent, surtout lorsqu'apparaît l'expression x 2 + y 2 .
• Le théorème de Fubini permet de calculer certaines intégrales simples, via des intégrales doubles. (ex. 3.6.8).
3.6.1 Soit
1
f : [O; +oo[
2 ----+ IR, (x ,y) t---+
2 2
·
1 + x
2 ( 1 +y )
a) Montrer que f est intégrable sur [0; +00[2.
b) Est-ce quef(O,·) est intégrable sur [O; +oo[?
3.6.2 Étudier l' intégrabilité de:
f: IR2----+ IR, (x,y) t---+ e - lxyl .
3.6.3 Étudier l'intégrabilité de :
f: IR2 ----+ IR, (x,y) t---+ e-
1
f a :JO; 1]
2 ----+ IR, (x,y) 1---+
2
2
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3.6.5 Existence et calcul , pour (a ,b ,c) E IR 3 fi xé tel que
a > 0 et b
2
- ac < 0, de:
f i2 e -(ax2+2bxy+cy2) dx dy.
3.6.6 Existence et calcul, pour a E IR fixé, de :
f L :+oo[2 (1 + x21 + y2)a .
3.6.7 Existence et calcul de:
ln ~
!1
X 4 dxdy.
[l:+oo[2 (x + y)
3.6.8 Soit (a ,b) E [0; +oo[
2 tel que a ~ b. Calculer
! • r xY dx dy, de deux façons et en déduire la
J [O: l]x[a:b]
1
1 xh - xa
valeur de l 'intégrale
dx.
0
ln x
3.6.9 Soit (a,b) E IR 2 tel que 0 < a < b. On note :
f: [O ; l] x [I; +oo[----+ IR,
(x,y) t---+ ae - axy -b e - bxy .
a) Montrer l'existence des intégrales
et
j = l + oo (11 f(x,y) dx) dy
et établir que :
l - J = ln b - ln a.
b) Est-ce quef est intégrable sur [0; l] x [l ; +oo[?
3.6.3
Intégrale sur une partie simple du plan
Dans cette section 3.6.3, nous reprenons, d'un point de vue un peu différent, l'étude des intégrales doubles fai te en lre Année (Analyse MPSJ, ch.12) .
1) Intégrale sur une partie élémentaire du plan
Une partie D de IR.
2 est dite élémentaire si et seulement s'il existe a,b ,c,d ~
(a ~ b, c ~ d), <(J1 ,
V y E]c;d [, 'l/J1(Y) < 'l/J2(Y)