3.6 ·Intégrales doubles
Exemple de calcul d'une intégrale double sur IR
2
Existence et calcul, pour (a,b ,c) E JR?. 2 , de: l = f i
2
(ax
2
+ 2bxy + c/ ) e - 2
+Y
2
l dx dy .
Sol"tion
1) Existence
L'application f : (x, y) f----+ (ax
2
+ 2bxy + c/) e - 2
+y2) est continue sur JR?.
2 •
Considérons l'application g : [ -n ; n] x [O; +oo[ ---7 lR?. définie par :
g(p ,e) = f(p cos e ,p sine)= p
2 (a cos
2 e + 2b sine cos e + c sin
2 e) e -p
2
•
Conseils
La présence de x
2
+ y2 dans l'énoncé
incite à un passage en polaires.
L'application e f----+ a cos
2 e + 2b sin e cos e + c sin
2 e est intégrable sur 11 s'agit d'une application continue sur un
[-n ; n ].
segment.
L'application p f----+ p
3 e - p
2
est intégrable sur [O ; +oo[ car, comme
p
2 (p
3 e - P
2
) = p
5 e -P
2
---7
0, on a, au voisinage de + oo : 0 :(; p
3 e -p
2
:(; ~,
P ~ + oo
P
1
et p f----+ 2 est intégrable sur [1 ; +oo[.
p
Il en résulte que leur produit, qui est gp, est intégrable sur [-n ; n] x [O ; + oo[,
D'après le Théorème 2 du§ 3.6.2, on conclut que f est intégrable sur JR?.
2 ,donc l
existe.
2) Calcul
Par passage en coordonnées polaires, comme en 1 ), on a :
1 = 1· {
(a cos
2 e + 2b sin e cos e + c sin
2 e)p
3 e -P
2
dp = J K ,
J[-1' :rr ]x [O :+oo[
où on a noté:
! "
1+00
J =
(a cos
2 e + 2b sin e cos e + c sin
2 e) de et K =
p
3 e -P
2 dp.
_ ,,
0
On calcule:
J =
a
+ b sin W + c
de
! " ( 1 + cos w
1 - cos w)
_,,
2
2
[
a + c
a-c
b
] "
= - -e + - - sin W - - cos W = (a+ c)n.
2
4
2
- lC
K=
p
3 e -p- dp= -
ue - "du= - r(2)= - 1!= - .
l
+oo
'
1 1+oo
1
1
1
0
2 0
2
2
2
a+ c
On conclut : l = -
2
-.
Intégrales doubles sur un produit cartésien
Cf.§ 3.6.2 Remarque p. 21 O.
Attention à ne pas confondre pet gp.
Linéarisation.
Changement de variable u = p 2 .
• Pour montrer qu'une fonction / : l x I ' ~IR continue, ~ 0, est intégrable, on peut essayer d'appliquer le
théorème de Fubini (ex. 3.6.3).
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