Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Résultat important, souvent utilisable en
pratique.
Exercice 3.6.3.
\ ] ) L'applicationgp estleproduitdeg etp.
"O
0
c
::J
0
(V)
..-t
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
210
Calcul de l'intégrale de Gauss:
e- x- d.x = -
1
+00
'
fi
0
2 .
Exercices 3.6.4 à 3.6.9.
Remarque:
Si u : I -----+ OC et v : I ' -----+ IK sont continues et intégrables sur l et J' respectivement,
alors l'application (x,y) 1-------+ u(x)v(y) est intégrable sur I x I' et:
f f xi' u(x)v(y) dx dy = ( f u(x) dx) ( f, v(y) dy ).
Nous admettons le théorème suivant.
Passage en polaires
--Soit/ : JR.
2 -----+ IK continue,
g: (B,p) E [-n; n] x [O; +oo[ 1-------+ g(B,p) = f(p cose,p sine).
L'application f est intégrable sur JR.
2 si et seulement si l'application gp est intégrable
sur [-n ; n] x [0; +oo[, et, sous ces conditions, on a :
!
Ï f(x,y)dxdy = Jï
g(B,p)pdBdp.
}' R. 2
lr-n ;n] x [O; + oo[
Exemple: Calcul de 1+ - x, e -x" d x.
l
L' application x t------+ e - x
2
est continue et intégrable sur IR, donc l'application
(x , y) t------+ e - x
2
-Y
2 = e - x
2 e - y
2 est intégrable sur IR
2 et :
f l2 e - x2 - y2 dx dy = ( l :oo e _, 2 dx) 2
D'après le Théorème 2, il en résulte que l'application (8 ,p) E [-rr ; rr] x [O; + oo[ t------+ e -P
2
p
est intégrable sur [-rr ; rr] x [O ; +oo[ et que:
!1
.2
2
!1
2
e - x -y dxdy =
e -P pd()dp
JR2
[-i r :ir]x[O:+oo[
= ( 1: d()) ( 1 +oo e - p
2
p dp) = 2rr [ _ ~e - p
2 I oo = rr.
On déduit : ( 1 :
00
e -x
2
dx)
2
= n , puis (par positivité) : 1:
00
e -x
2
dx = ../ii, et enfin
(par parité) :
e -x2 dx = - .
1
+00
.,;n
0
2