1 Rappelons que les applications Ré (f)
\J_, etlrn (f) sontlesapplicationsàvaleurs
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réelles définies, pour to ut
(x,y) E 1 x / ',par:
Ré(f)(x ,y) =
~(t(x,y) + f(x,y)),
Irn (f)(x,y) =
~(t(x,y)-f(x,y)),
et que l'on a:
{
~ = Ré (f) + i lm (f)
f =Ré (f) - ifrn (f).
3.6 • lntég raies doubles
----..
ement si
Soit f : l x I ' -----+ C. L'application f est intégrable sur l x I ' s i et seul
Ré (f) et lm (f) le sont.
Preuve
Même méthode que pour la preuve de la Prop.4 du § 3.2.1.
•
Si f : l x I '-----+ C est intégrable, on appelle intégrale (double) def sur
on note 1· f f le complexe :
[ X [
1
, et
11 x !'
J J f = Jï Ré (f) + i !' lm (f) .
11 x ! '
11x!'
11 x !'
Linéarité de l'intégration
--Soient a E IK, f,g : l x I ' -----+ IK intégrables sur l x I '. Alors af +g est
intégrable sur l x I ' et :
L
j L,, l
Preuve (abrégée)
On montre le résultat lorsque a ~ 0, f ~ 0, g ~ 0, puis on le déduit lorsque a E IR e t f,g sont à
valeurs réelles, et enfin lorsque a E C et f,g sont à valeurs complexes.
Pour toute application! : l x I ' -----+ IK intégrable sur l x I ', on a :
1
J ï f 1 ~ !' lfl.
J1 x !'
J1 x !'
Preuve (abrégée)
On montre le résultat, en utilisant le théorème de majoration, lorsque f est à valeurs réelles,
f est à valeurs complexes.
Nous admettons le théorème suivant, qui généralise le théorème du § 3.6.2 1).
Théorème de Fubini
Soitf : l x I ' -----+ IK continue.
{
•pour tout y E I ', f(-,y) est intégrable sur l
Si
• g : y !----* J 1 f (-,y) I, est intégrable sur I '
ou
. {•pour tout x E / , f(x,·) e st intégrable sur I '
Sl
!
• h : x -----+
1f(x,·)1 est intégrable sur l ,
J'
alors f est intégrable sur J x J' et :
f f xi' f = f ( /, f(x,y) d y ) dx = f, ( f f(x,y) dx) d y .
puis lorsque
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