Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
, "} \ f (x,.) est la fonction partielle définie
\..:-) par:
"O
0
c
::J
0
Vy E ! ', f(x,.)(y) = f(x,y).
f (.,y) est la fonction partielle définie
par:
Vx E / , f (-,y)(x) = f (x ,y).
Exercice 3.6.1.
Puisque f : l x !' -+ OC est
continue, If 1 : l x ! ' -+ R est
continue et ? 0, et on se ramène
donc au § 1).
~ , i \ Rappelons que/+ etf- sont les
~_:,_J applications à valeurs réelles positives
N
ou nulles définies, pour tout
@
(x ,y) E l x /
1 , par:
:C
f+(x,y) =
Ol
·~
{ f(x,y) s' . f(x,y)? 0
0.
0
SI f(x,y) ~ 0,
0
u
r 208
{
0
si f(x,y)?O
-f(x,y) si f(x ,y) ~ 0,
et que l'on a:
{
t =r - 1111=t++1-.
Théorème de majoration
Soientl,g: l x 1
1 ~IR, continues, positives ou nulles. Si 0 ~ l ~ g et si g est
intégrable sur l x I ', alors lest intégrable sur l x I ' et :
f ·r l~ f· r g.
lt xl'
11xJ
1
Nous admettons le théorème suivant.
Soitl: 1 x !'~IR, continue, ~ O.
{
• pour tout y E J', l (.,y) est intégrable sur 1
Si
• g : y 1-------+ f l(.,y), est intégrable sur J'
ou
. {•pour tout x E /, l(x,-) est intégrable sur J'
Sl
f
• h : x ~ l(x,·) est intégrable sur/,
! '
alors lest intégrable sur l x ! ' et :
ffxI'l= f (f,l(x,y)dy)dx= f ,(fl(x,y)dx)dy .
Remarque: Il se peut que f : I x ! ' -----? IR soit continue, ~ 0, intégrable et qu'il existe x E I
tel que f (x ,-) ne soit pas intégrable sur/', cf. exercice 3.6.1.
2) Cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes
. -
lsoit l : 1 x J' ~ OC continue. On dit quel est intégrable sur l x I ' si et seule! ment si 1l1 est intégrable sur 1 x J' .
Remarques:
1) Si I et / ' sont des segments, alors toute application f : I x /' -----? lK continue est intégrable sur I x /' .
2) Soit! : I x /' -----? lK continue. Si I et!' sont bornés et si f est bornée, alors f est intégrable
sur/ x i ' .
L'application l est intégrable sur l x !' si et
D
oit l : 1 x J' ~ IR continue.
seulement sil+ etl- le sont.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-1
Preuve
Même méthode que pour la preuve de la Prop.3 du § 3.2.1.
•
Sil: 1 x J' ~ IR est intégrable, on appelle intégrale (double) de l sur l x ! ' ,et
on note f' r l le réel :
lr xl'
f ·r l=f·r l+-f·r l -
lrxl'
lr xl'
11x!
1