3.6.2
Exercice 3.6.2.
0
J désigne l'intérieur de / ,c'est-à-dire 1
~ privé de ses ~ventuelles extrémités. Par
_g
exemple:[a; b[ = ]a; b[.
Q.
j
-g
c:
::>
0
@
3.6 ·Intégrales doubles
Intégrales doubles sur le produit cartésien
de deux intervalles
!,/'désignent des intervalles quelconques de IR , non vides ni réduits à un point.
1) Cas des fonctions à valeurs réelles positives ou nulles
Soit f : l x I ' ----+ lR, continue et ~ O. On dit que f est intégrable sur l x I ' si
et seulement s' il existe un élément M de lR+ tel que, pour tout segment J inclus dans
l et tout segment J ' inclus dans !
1
:
I .{ f~M.
J1 xJ
1
Avec les notations de la définition précédente, si f : l x ! ' -----+ IR est continue et ~ 0, alors
l'ensemble des 1· [ f (lorsque J décrit l'ensemble des segments inclus dans l et J' décrit
l 1 x J1
l'ensemble des segments inclus dans /') est une partie non vide et majorée de IR, donc admet
une borne supérieure dans IR .
D 'où la Définition suivante:
Soitf: l x ! '----+ JR, continue, ~ 0, intégrable. On appelle intégrale (double) de f
sur I x ! ' , et on note 1· [ f, la borne supérieure des 1· [ f lorsque J décrit
J1 x !
1
J1 x J '
l'ensemble des segments inclus dans I et J ' décrit l'ensemble des segments inclus
dans 1
1
•
Remarques:
7) Avec les hypothèses et notations de la Définition précédente:
If,
f ~ O.
/ x i '
2) Si l et !' sont des segments, l = [a; b], ! ' = [c; d], alors toute application
f : [a; b] x [c; d] -----+ IR continue et ~ 0 est intégrable et l'intégrale If, f est égale à
/ x i '
l ·r f définie dans§ 3.6.1.
J [a:b]x [c:d]
3) On convient que, si I ou / ' est vide ou réduit à un point, alors toute application
f : I x ! ' -----+ IR , ~ 0 est intégrable et d'intégrale nulle.
4) Si l et !' sont bornés et si f : l x ! ' -----+ IR est continue, ~ 0 et bornée, alors f est intégrable sur l x ! ', car, pour tout segment J inclus dans let tout segment J' inclus dans ! ',on
a 1· [ f ~ f (J ) f(J')l l.f l loo, où f(J) désigne la longueur de J.
J J x J'
5) Il est immédiat que, si f : I x ! ' -----+ IR est continue et ~ 0, alors f est intégrable sur I x ! '
si et seulement si f est intégrable sur [ x I', et que l'on a alors:
If, f = 1 · ~ 0 f.
/ x i'
1 7x t'
La Proposition suivante est immédiate.
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Exercice 3.6.2.
0
J désigne l'intérieur de / ,c'est-à-dire 1
~ privé de ses ~ventuelles extrémités. Par
_g
exemple:[a; b[ = ]a; b[.
Q.
j
-g
c:
::>
0
@
3.6 ·Intégrales doubles
Intégrales doubles sur le produit cartésien
de deux intervalles
!,/'désignent des intervalles quelconques de IR , non vides ni réduits à un point.
1) Cas des fonctions à valeurs réelles positives ou nulles
Soit f : l x I ' ----+ lR, continue et ~ O. On dit que f est intégrable sur l x I ' si
et seulement s' il existe un élément M de lR+ tel que, pour tout segment J inclus dans
l et tout segment J ' inclus dans !
1
:
I .{ f~M.
J1 xJ
1
Avec les notations de la définition précédente, si f : l x ! ' -----+ IR est continue et ~ 0, alors
l'ensemble des 1· [ f (lorsque J décrit l'ensemble des segments inclus dans l et J' décrit
l 1 x J1
l'ensemble des segments inclus dans /') est une partie non vide et majorée de IR, donc admet
une borne supérieure dans IR .
D 'où la Définition suivante:
Soitf: l x ! '----+ JR, continue, ~ 0, intégrable. On appelle intégrale (double) de f
sur I x ! ' , et on note 1· [ f, la borne supérieure des 1· [ f lorsque J décrit
J1 x !
1
J1 x J '
l'ensemble des segments inclus dans I et J ' décrit l'ensemble des segments inclus
dans 1
1
•
Remarques:
7) Avec les hypothèses et notations de la Définition précédente:
If,
f ~ O.
/ x i '
2) Si l et !' sont des segments, l = [a; b], ! ' = [c; d], alors toute application
f : [a; b] x [c; d] -----+ IR continue et ~ 0 est intégrable et l'intégrale If, f est égale à
/ x i '
l ·r f définie dans§ 3.6.1.
J [a:b]x [c:d]
3) On convient que, si I ou / ' est vide ou réduit à un point, alors toute application
f : I x ! ' -----+ IR , ~ 0 est intégrable et d'intégrale nulle.
4) Si l et !' sont bornés et si f : l x ! ' -----+ IR est continue, ~ 0 et bornée, alors f est intégrable sur l x ! ', car, pour tout segment J inclus dans let tout segment J' inclus dans ! ',on
a 1· [ f ~ f (J ) f(J')l l.f l loo, où f(J) désigne la longueur de J.
J J x J'
5) Il est immédiat que, si f : I x ! ' -----+ IR est continue et ~ 0, alors f est intégrable sur I x ! '
si et seulement si f est intégrable sur [ x I', et que l'on a alors:
If, f = 1 · ~ 0 f.
/ x i'
1 7x t'
La Proposition suivante est immédiate.
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