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206
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Les exercices 3.5.28 et 3.5.29 utilisent la fonction B
d'Euler (exercice 3.5.27).
( 1) (2n) !JJT
c) Montrer : V n E N, f n + - = 2
.
2
2 "n!
3.5.29 Montrer: V(p ,q) E]O; + oo[
2 ,
3.5.28 a) Montrer :
Vx E]O; +oo[, B(x, x ) = 22 x+
1
s (~ ,x).
b) En déduire :
/_
1
1
(l +x) 2p-1(1 -x)2q- 1
- - - - - - - - dx = 2p+q- 2 B(p,q).
(1 + x2)p+q
Le lecteur trouvera plus loin (exercices 5.1.38, 5.1.39,
7.4.12) les formules de Gauss et de Weierstrass, et la formule des compléments.
V x E]O; +oo[, 2 2 x-l f(x)f (x + ~) = f (~) f(2x).
3.6 Intégrales doubles
3.6.1
Ainsi,dans ce cas doublement particulier
{le domaine d'intégration est un pavé et
la fonction à intégrer se décompose en
produit de deux fonctions de chacune
des deux variables), l'intégrale double est
le produit de deux intégrales simples.
Intégrales doubles sur le produit cartésien
de deux segments
On admet le résultat suivant.
Soient a,b,c,d E lR tels que a ~ b et c ~ d, f : [a ; b] x [c ; d]----+ lK continue.
Alors:
La valeur commune de ces deux intégrales est appelée intégrale (double) def sur le
pavé[a;b] x [c : d] ,etnotéef/
f,ouf'f
f(x ,y)d.xdy.
J [a ;b] x [c;dJ
JLa ;bJ x[c ;d J
Remarques
1) Lorsque f : [a; b] x [c ; d] ~ IR est continue et ~ 0, l'intégrale double 1· f f
lia :b] x [c :dl
représente, dans un repère orthonormé ( 0 ,x yz), le volume de la portion de l'espace comprise entre le plan x O y , la surface d'équation z = f (x ,y) et les plans d'équations
X= a , X= b, y= C, y = d.
2)
Soient
u : [a ; b] ~ OC, v: [c ; d] ~ OC.
deux
applications
continues,
f : [a; b] x [c; d] ~ OC.
(x ,y) 1---+ u(x)v(y)
On a alors:
! ' { f(x ,y)dxdy= ( { b u(x)dx)(i" v (y)dy).
J [a :b] x[c :d]
J,
c