c) ex)On note A: [O; +oo[--+ IR l'application définie par:
1
1
- /
Vt E [0; + oo[, A (t) =
-tel
si t -:f:. 0
si t = 0
Montrer que A est conti nue sur [O; + oo[, dérivable sur
]O; +oo[, et que: Vt E]O; +oo[, A' (t) ~ O.
{3) En déduire: Vx E]O; + oo[, 0 ~ f(x ) - f(O) ~ 2x.
y) Etablir que f est continue en 0 et que C = 0.
lo
+oo sin t
rr
o) Conclure :
-
dt = - .
0
t
2
d) En déduire les valeurs des intégrales suivantes :
J
+oo sinext
1)
- - dt , ex E IR
0
t
J
+oo 1 - cos ext
2)
2
dt , ex E IR
0
t
lo
+oo t - sin t
3)
3
dt
0
t
J
+oo ( sint) 2
4)
-
dt
0
t
J
+oo sin at sin bt
5)
2
dt , (a ,b) E IR 2
0
t
lo
+oo 1 - cos at cos bt
6)
2
dt , (a ,b ) E IR 2 .
0
t
3.5.20 Soit ex E]O; + oo[ .
a) Montrer que, pour tout x de IR , l'appli cati on
t 1-+ ta -
1 e1 eixt est intégrable sur [O; + oo[.
On notefa (x) = fo+oo ta- l e - teixt dt.
b) Montrer que fa est de classe C
1 sur IR et :
"lx E IR, f~ (x) = i l +oo tae1 eixt dt .
c) En utilisant une intégration par parties, établir :
Vx EIR, -(i+x ) f~ (x)=ex.fa (x) , etendéduire:
\lx E IR, f a (X) = I' (ex)(x2 + 1) -1 eia Arctanx.
On a ainsi calculé la transformée de Laplace (cf. P 5 .1 )
de t 1-+ ta- leixt.
d) En déduire, pour tout x de IR :
lo
+oo e1 cos(xt)
fi)~+ 1
- - - - dt= - - - - - - -
0
-fi
2v'2~
lo
+oo e1 sin(x t)
,Jnj J l + x 2 - l
- - - - dt=
.
0
-fi
2v'2~
3.5.21 On note 1 : IR -----+ IR l'application définie par :
Vt E IR, 1 (t) = l !f eit sinudu.
Montrer que, pour tout x de ]O; + oo[ , l'application
t 1-+ 1 (t)e- xr est intégrable sur [O; + oo[ et :
3.5 • Intégrales dépendant d'un paramètre
r +oo l (t)e - XI dt= ~ (rr+iln ~ +
1
) .
lo
2 l + x2
l + x 2 - l
On a ainsi calculé la transformée de Laplace (cf. P 5.1)
de 1.
3.5.22 Montrer que ln or est convexe sur ]O; +oo[ .
3.5.23 Montrer :
r +oo
"lx E]O; + oo[, Jo e1 (1-x )tx-llnt dt= r(x ) .
3.5.24 Montrer :
"lx E]O; +oo[, l +oo ext- e' dt = f(x ).
- OO
3.5.25 Montrer: Va E]O; + oo[, "lm E] - l ; + oo[,
lo
+oo 111 - ax2
1 (m + l)
xe
dx= - - f - - .
0
m+ I
2
2a--Y3.5.26 Montrer: V(ex ,{J) E] - 1; +00[2 ,
f
1
xa(-ln x )fldx = f({J+l).
lo
(ex + l )fl+ 1
3.5.27 Fonction B d'Euler
a) Déterminer l'ensemble des couples (p ,q ) de IR
2 tels que
l'application t 1-+ t P1
(1 - t)q - I soi t intégrable sur
]0; 1[.
On note B : ]O; + oo[
2 --+ IR l'application définie par:
'V( p ,q) E]O; + 00[2 , B(p ,q) = 1
1
tP -
1 (1-t) q- ldt.
b) Vérifier: V (p ,q ) E]O; + 00[2 ,
B (p ,q) = B (q , p) = 2 fo
1
sin
2 P1
ecos
2 q1
e de.
c) ex ) Pour (p ,x) E]O; + oo[x [O; + oo[, on note
Pour a E [O; + oo[, on note
Da = {(x,y ) E [O; + 00[2 ; x
2 + y 2 :( a
2 } et Lla = [O; a]2.
Pour (a ,p ,q) E [0; + oo[ x ]O; + oo[x ]O; +oo[ , on note:
la = fla
1) Montrer: Va E [O; + oo[, la ~ la ~ la.fi·
2) Exprimer la et l a, pour a E [0; +oo[.
{3 ) En déduire :
'V(p ,q) E]O; + oo[, f(p + q )B(p,q) = f(p)f(q) .
y) CalculerB( p ,q) pour (p ,q) E (N* )2.
205
1
1
- /
Vt E [0; + oo[, A (t) =
-tel
si t -:f:. 0
si t = 0
Montrer que A est conti nue sur [O; + oo[, dérivable sur
]O; +oo[, et que: Vt E]O; +oo[, A' (t) ~ O.
{3) En déduire: Vx E]O; + oo[, 0 ~ f(x ) - f(O) ~ 2x.
y) Etablir que f est continue en 0 et que C = 0.
lo
+oo sin t
rr
o) Conclure :
-
dt = - .
0
t
2
d) En déduire les valeurs des intégrales suivantes :
J
+oo sinext
1)
- - dt , ex E IR
0
t
J
+oo 1 - cos ext
2)
2
dt , ex E IR
0
t
lo
+oo t - sin t
3)
3
dt
0
t
J
+oo ( sint) 2
4)
-
dt
0
t
J
+oo sin at sin bt
5)
2
dt , (a ,b) E IR 2
0
t
lo
+oo 1 - cos at cos bt
6)
2
dt , (a ,b ) E IR 2 .
0
t
3.5.20 Soit ex E]O; + oo[ .
a) Montrer que, pour tout x de IR , l'appli cati on
t 1-+ ta -
1 e1 eixt est intégrable sur [O; + oo[.
On notefa (x) = fo+oo ta- l e - teixt dt.
b) Montrer que fa est de classe C
1 sur IR et :
"lx E IR, f~ (x) = i l +oo tae1 eixt dt .
c) En utilisant une intégration par parties, établir :
Vx EIR, -(i+x ) f~ (x)=ex.fa (x) , etendéduire:
\lx E IR, f a (X) = I' (ex)(x2 + 1) -1 eia Arctanx.
On a ainsi calculé la transformée de Laplace (cf. P 5 .1 )
de t 1-+ ta- leixt.
d) En déduire, pour tout x de IR :
lo
+oo e1 cos(xt)
fi)~+ 1
- - - - dt= - - - - - - -
0
-fi
2v'2~
lo
+oo e1 sin(x t)
,Jnj J l + x 2 - l
- - - - dt=
.
0
-fi
2v'2~
3.5.21 On note 1 : IR -----+ IR l'application définie par :
Vt E IR, 1 (t) = l !f eit sinudu.
Montrer que, pour tout x de ]O; + oo[ , l'application
t 1-+ 1 (t)e- xr est intégrable sur [O; + oo[ et :
3.5 • Intégrales dépendant d'un paramètre
r +oo l (t)e - XI dt= ~ (rr+iln ~ +
1
) .
lo
2 l + x2
l + x 2 - l
On a ainsi calculé la transformée de Laplace (cf. P 5.1)
de 1.
3.5.22 Montrer que ln or est convexe sur ]O; +oo[ .
3.5.23 Montrer :
r +oo
"lx E]O; + oo[, Jo e1 (1-x )tx-llnt dt= r(x ) .
3.5.24 Montrer :
"lx E]O; +oo[, l +oo ext- e' dt = f(x ).
- OO
3.5.25 Montrer: Va E]O; + oo[, "lm E] - l ; + oo[,
lo
+oo 111 - ax2
1 (m + l)
xe
dx= - - f - - .
0
m+ I
2
2a--Y3.5.26 Montrer: V(ex ,{J) E] - 1; +00[2 ,
f
1
xa(-ln x )fldx = f({J+l).
lo
(ex + l )fl+ 1
3.5.27 Fonction B d'Euler
a) Déterminer l'ensemble des couples (p ,q ) de IR
2 tels que
l'application t 1-+ t P1
(1 - t)q - I soi t intégrable sur
]0; 1[.
On note B : ]O; + oo[
2 --+ IR l'application définie par:
'V( p ,q) E]O; + 00[2 , B(p ,q) = 1
1
tP -
1 (1-t) q- ldt.
b) Vérifier: V (p ,q ) E]O; + 00[2 ,
B (p ,q) = B (q , p) = 2 fo
1
sin
2 P1
ecos
2 q1
e de.
c) ex ) Pour (p ,x) E]O; + oo[x [O; + oo[, on note
Pour a E [O; + oo[, on note
Da = {(x,y ) E [O; + 00[2 ; x
2 + y 2 :( a
2 } et Lla = [O; a]2.
Pour (a ,p ,q) E [0; + oo[ x ]O; + oo[x ]O; +oo[ , on note:
la = fla
1) Montrer: Va E [O; + oo[, la ~ la ~ la.fi·
2) Exprimer la et l a, pour a E [0; +oo[.
{3 ) En déduire :
'V(p ,q) E]O; + oo[, f(p + q )B(p,q) = f(p)f(q) .
y) CalculerB( p ,q) pour (p ,q) E (N* )2.
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