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0
N
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.......
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0
u
204
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
3.5.9
a) É tablir que f : x f----+ 1+oo e -
12 ch 2xt dt est
de classe C
1 sur IR et: 'v'x E IR , .f'(x) = 2xf(x).
b) En déduire : 'v'x E IR ,
e1 ch 2x t dt = -
ex .
1
+ 00
2
--Ili .2
0
2
3.5.10 Établir: 'v'zE e1
· e z
1 dt = . .Jiie '4 .
f
+oo ,
.2
-OO
3.5.11 a) Déterminer l'ensemble de définition (dans IR ) de
f : x r---+ 1 I ln ( ! + x sin
2 t)dt .
b) Montrer que f est de classe C
1 sur] - 1; +oo[ et :
'v'x E] - l ; +oo[, f' (x) =
n:
2v"X+î ( 1 + v"X+î)
c) E n déduire: 'v'x E [ - 1; +oo[ ,
1 + v"X+î
f (x) = n: ln
2
.
3.5.12 a) Étudier ensemble de définition (dans IR ), dérivabilité, dérivée de : f : x f----+ [ ' t -
1
tx dt.
} 0
lnt
b) E n déduire :
1
1 t - l .
x+2
'v'x E] - l ; +oo[,
- - tx dt = ln - -.
O
ln t
X+ J
3.5.13
a) Montrer que, pour tout (a,{3) de ]0; +00[2 ,
e- ar - e-f31
t r---+ - - - - est intégrable sur ]0; +oo[ .
t
1
+00 e- ar - e- f3r
Le but de l'exercice est Je calcul de
dt
0
t
par deux méthodes.
b) Soit (&, T ) E]O; +00[2 tel que & ~ T. Montrer:
l
T e -at - ef3t
1 f3s e-11
1 f3 T e -u
- - - - dt =
-
du -
-
d v,
s
t
as U
aT
V
1
+00 e - at - e -f3t
et en déduire :
dt = ln t3 - ln a .
0
t
c) Montrer le résultat ci-dessus en utilisant Je théorème de
r+oo
dérivation sous le signe Jo .
d) A l'aide d'un changement de variable, retrouver Je résultat de l'exercice 3.5 .12.
3.5.14 a) Étudier ensemble de définition (dans IR ), déri1
+00 l - e-x12
vabilité, dérivée de f : x r---+
2
dt.
0
t
b) En déduire:
1
+00 1 - e - x12
'v'x E [O; +oo[ ,
2
dt = ,J7iX.
0
t
c) Retrouver le résultat de b) par un changement de
variable et une intégratio n par parties.
3 .5.15 Étude et représentation graphique de
f : x f----+ f (x ) (x réel) dans les exemples suivants :
a)f(x) = 1+oo ~ e12 dt
r+oo 3 2
b) f(x) = Jo e-1 -xt dt.
3.5.16
a) Montrer que, po ur tout x de IR , l'applicatio n
Arctan(xt)
t r---+ _t_ (_l _ +_t- 2
)
- est intégrable sur ]O; +oo[. On note
1
+oo Arc_ tan(xt )
f : IR ---+ IR , f (x ) =
2
dt.
0
t (l + t )
b) Montrer que f est de classe C
1 sur IR et calculer f' (x)
pour x E [0; +oo[.
71:
c) En déduire : 'v'x E [O; +oo[, f (x) = 2
ln(l + x).
Exprimer f (x ) pour x E IR.
r+ 00
(Arctan t )
2
d) E n dédui re : lo
t
dt = n: ln 2.
3.5.17 E tablir :
1
+oo ln (l + x
2 t
2 )
'v'x E IR,
2
dt= n: ln ( l + !xi).
0
1 + t
3.5.18 a) Établi r, pour tout x de IR, l'existence de:
r+ 00 cos(x t)
r+ 00 t sin(xt)
f(x) = Jo
l+f2 dt, g(x) = Jo
1 + t 2 dt,
- 1+ 00 t sin (xt)
- 1+ 00 cos(xt)
h (x) -
22
dt, k (x) -
2 2
dt.
0
(1 + t )
0
(1 + t )
b) Etablir : 'v'x E IR, xf(x) = 2h(x) .
c) Montrer que h est de classe C
1 sur [O; +oo[ et que
h' = .f - k, puis que que k est de classe C
1 sur [O; +oo[
et que k' = - h .
d) En déduire que f est de classe C
2 sur ]0; +oo[ et que :
e) Établir:
'v' x E]O; + oo[, f"(x) = f(x ).
'v'x E IR, f(x) = !:. e - lx l, puis :
2
'v'x E IR, g(x) = ::_ sgn(x) e -lxl .
2
3.5.19 a) Montrer que, pour tout x de [O; +oo[, l'intégral o
->+oo 1 _ e-xr
le impropre
sin t dt converge ; on note
0
t
l o
+oo 1 _ e-xt
f (x) =
sin t dt .
0
t
b) a) Montrer que f est de classe C
1 sur ]0; +oo[ et :
I
1.
'v'x E]O; +oo[, f (x) = 1
+ x 2 .
{3) En déduire qu'il existe C E IR tel que : 'v'x E]O; +oo[,
f(x) = Arctan x + C.