3.5 • Intégrales dépendant d'un paramètre
On peut aussi envisager de former une équation différentielle satisfaite par f (ex. 3.5.9, 3.5.10, 3.5.18, 3.5.21).
• Le théorème de dérivation sous le signe j peut permettre d'étudier, sans la« calculer», une fonction définie comme intégrale, sur un intervalle quelconque, dépendant d'un paramètre:
f(x ) = j F(x, t)dt
(ex. 3.5.5, 3.5.15).
• À l'aide de la fonction r d'Euler, on peut, par des changements de variable, intégrations par parties, dérivations
successives, . . . , déduire d'autres intégrales (ex. 3.5.22 à 3.5.26). L'étude de la fonction B d'Euler (exercicetype résolu pp. 201-202) est classique; B s' exprime à l'aide de r , et pennet ensuite de calculer d' autres intégrales
(ex. 3.5.28, 3.5.29).
3.5.1
Poisson
Calculer, pour x E IR - {- 1, l}, l'intégrale de
l(x ) =ln ln(l - 2x cos t + x
2 )dt.
3.5.2 a) Calculer, pour x E IR+. :
1
1f
dt
l (x) =
.
o cos
2 t + x sin
2 t
b) En déduire, pour x E IR+., la valeur de
l
n
sin 2 t
J (x) =
0
,
dt.
(cos 2 t + x sin- t) 2
3.5.3 a) Montrer: Vx E ] - 1; + oo[,
Io
1 Jn(l + x t)
- - - - dt
0
1 + t 2
ln 2
7f
2
fox ln(l + t )
= -
Arctanx + - ln(l + x ) -
2
dt.
2
8
0 l+t
1
1 ln(l + t )
rr ln2
b) En déduire :
2
dt= - - .
0
l + t
8
3.5.4 Soit f : IR ----+ IR définie par :
[' e - x2 ( 1+ 12)
Vx E IR, f (x ) = Jo 1 + t 2 dt .
a) Montrer que f est dérivable sur IR et :
Vx E IR, J' (x) = -2e- x
2 1 x e -
12 dt.
b) En déduire que x r---+ f (x ) +(lx e12 dt)
2
est
constante.
c) Conclure :
r+ oo e - 12 dt= ,.fii_
lo
2
3.5.5 Étudier et représenter graphiquement la fonction f
d'une variable réelle x définie par :
f( x ) =ln ../x + cos t dt.
3.5.6 Fonction 1 0 de Bessel
Montrer que l'application 1 0 : IR ----+ IR définie par :
Vx E IR, J 0 (x ) = -
cos(x sin t) dt
1 11f
7f 0
admet dans [O; rr] un zéro et un seul , et que ce lui-ci est dans
]O; rr [.
3.5. 7 Soient l un intervalle de IR , x 0 E / ,
n E N - {0, 1 }, f : l ----+ E de classe en sur / , telle que
f(xo) =O.
a) Montrer qu'il existe g : / ----+ E de classe cn- i sur /
telle que: Vx E / , f(x) = (x - x 0 )g(x ).
(Dans f (x) = jx J' (t) dt , effectuer Je changement de
XQ
t -Xo
variable u = - -) .
X -Xo
b) Montrer que, si de plus f ' , ... ,J(n ) sont bornées sur/,
aJors g,g', . . . ,g
1
llJ(p+l )l loo·
3.5.8 Importance de l'hypothèse de domination
On note A = [O; +oo[, I = [O; + oo[, F: A x l --+ ~ .
(x ,t)t--> xe- x t
Montrer:
1) F est continue par rapport à la pre mière variable (x ) et
continue par morceaux par rapport à la deuxi è me
variable (t)
2) Pour tout x de A , F (x,.) est intégrable sur l
3) f: A --+ ~
n'est pas continue sur A.
XI--> J 1 F (x ,t )dt
203
On peut aussi envisager de former une équation différentielle satisfaite par f (ex. 3.5.9, 3.5.10, 3.5.18, 3.5.21).
• Le théorème de dérivation sous le signe j peut permettre d'étudier, sans la« calculer», une fonction définie comme intégrale, sur un intervalle quelconque, dépendant d'un paramètre:
f(x ) = j F(x, t)dt
(ex. 3.5.5, 3.5.15).
• À l'aide de la fonction r d'Euler, on peut, par des changements de variable, intégrations par parties, dérivations
successives, . . . , déduire d'autres intégrales (ex. 3.5.22 à 3.5.26). L'étude de la fonction B d'Euler (exercicetype résolu pp. 201-202) est classique; B s' exprime à l'aide de r , et pennet ensuite de calculer d' autres intégrales
(ex. 3.5.28, 3.5.29).
3.5.1
Poisson
Calculer, pour x E IR - {- 1, l}, l'intégrale de
l(x ) =ln ln(l - 2x cos t + x
2 )dt.
3.5.2 a) Calculer, pour x E IR+. :
1
1f
dt
l (x) =
.
o cos
2 t + x sin
2 t
b) En déduire, pour x E IR+., la valeur de
l
n
sin 2 t
J (x) =
0
,
dt.
(cos 2 t + x sin- t) 2
3.5.3 a) Montrer: Vx E ] - 1; + oo[,
Io
1 Jn(l + x t)
- - - - dt
0
1 + t 2
ln 2
7f
2
fox ln(l + t )
= -
Arctanx + - ln(l + x ) -
2
dt.
2
8
0 l+t
1
1 ln(l + t )
rr ln2
b) En déduire :
2
dt= - - .
0
l + t
8
3.5.4 Soit f : IR ----+ IR définie par :
[' e - x2 ( 1+ 12)
Vx E IR, f (x ) = Jo 1 + t 2 dt .
a) Montrer que f est dérivable sur IR et :
Vx E IR, J' (x) = -2e- x
2 1 x e -
12 dt.
b) En déduire que x r---+ f (x ) +(lx e12 dt)
2
est
constante.
c) Conclure :
r+ oo e - 12 dt= ,.fii_
lo
2
3.5.5 Étudier et représenter graphiquement la fonction f
d'une variable réelle x définie par :
f( x ) =ln ../x + cos t dt.
3.5.6 Fonction 1 0 de Bessel
Montrer que l'application 1 0 : IR ----+ IR définie par :
Vx E IR, J 0 (x ) = -
cos(x sin t) dt
1 11f
7f 0
admet dans [O; rr] un zéro et un seul , et que ce lui-ci est dans
]O; rr [.
3.5. 7 Soient l un intervalle de IR , x 0 E / ,
n E N - {0, 1 }, f : l ----+ E de classe en sur / , telle que
f(xo) =O.
a) Montrer qu'il existe g : / ----+ E de classe cn- i sur /
telle que: Vx E / , f(x) = (x - x 0 )g(x ).
(Dans f (x) = jx J' (t) dt , effectuer Je changement de
XQ
t -Xo
variable u = - -) .
X -Xo
b) Montrer que, si de plus f ' , ... ,J(n ) sont bornées sur/,
aJors g,g', . . . ,g
1
llJ(p+l )l loo·
3.5.8 Importance de l'hypothèse de domination
On note A = [O; +oo[, I = [O; + oo[, F: A x l --+ ~ .
(x ,t)t--> xe- x t
Montrer:
1) F est continue par rapport à la pre mière variable (x ) et
continue par morceaux par rapport à la deuxi è me
variable (t)
2) Pour tout x de A , F (x,.) est intégrable sur l
3) f: A --+ ~
n'est pas continue sur A.
XI--> J 1 F (x ,t )dt
203