-0
0
c
:J
0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0.
0
u
216
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Passons en po laires :
1 11
1
p
2
cosesine ~
l =
p dp de = J K ,
o 0 p 2 (2cos 2 e + sin 2 e)
en notant :
1
~
cose sin e
1
1
J =
de et K =
0
~ p dp .
o 2cos 2 e+sin 2 e
On a, par le changement de variable u = sin
2
e :
11
1 du
1 1 ln2
J = -
- - = - [ln (2 -u)] 0 = -
.
2 0 2 - u
2
2
Par le changement de variable v = ~ :
On conclut:
Exercices 3.6.16 à 3.6.18.
3.6.10 Calculer, pour tout a E [O ; +oo[ :
I(a ) = j'f lx - y la dx dy .
l ro: 112
3.6.11 Déterminerlim/' f
n
dx dy .
noo
l ro: 112 n + x" +y"
3.6.12 Inégalité de Tchébychev
Soient a ,b E IR tels que a ~ b .
a) Soient / 1 ,f 2 : [a; b] ----+ IR continues, croissantes.
Montrer:
b) Soient n E N*, / 1 , •.. , f,, : [a ; b] ----+ IR continues, :;:::: 0 ,
croissantes. Montrer :
3.6.13 Calculer
I = [4 (f J4=X l dy ) dx.
la - J4=X J20 + 12y - y3
3.6.14 Calculer
I = (1 (/
1 ~ dx)dy .
lo y 1 + x 4
t
1
K = Jo v2 dv = 3.
ln 2
l = -
6 .
3.6.15 Calculer
1 " (1" sin y )
l =
- - dy dx.
Û
X
Y
3.6.16 Calculer f i f(x,y) dx dy, où D est l'intérieur
du parallélogramme OABC ,
et f(x,y)=J3x-ye
2 y-x .
;. ~.17 Calculer l = f i f(x,y) dx dy, où:
D = {(x ,y) E IR
2
;
x:;:::: 0, y:;:::: 0, 1 ~ x
2 - y2 ~ 9 , 2 ~ xy ~ 4)
et
f (x ,y) = x
2 + y2
3.6.18 Calculer l = f i f(x,y) dx dy, où:
et
D = {(x,y) E IR
2 ; (x -1)
2 + y2 ~ 1, y:;:::: 0)
x 3
f(x ,y) = - 2- - 2 ·
X + y