Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercice 1.1.2.
Une norme sur E induit une norme sur
tout sev de E.
Il est clair que, pour tout sev de E, la
distance induite sur F par d est aussi la
distance associée à la norme induite
sur Fpar ll · 11.
r
Les définitions de v 1, v2, v 00
\j_., généralisent celles de 11 • 1 li , 11 • 112.
11 · lloo vuessur !K" (exemple l)p.4).La
preuve du fait que ce sont des normes est
analogue à celle de l'exemple 1).
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
..c
c:n
·;:: -->- o.
0
u
8
Rappels d'algèbre générale, cf. Algèbre
MPSI.
Inégalité triangulaire renversée
Soient (E , 11.11) un evn et d la distance associée à 11.11. On a :
1) 'l(x,y) E E
2 ,
llx - Yll ~ lllxll - llYlll
2) V(x,y,z) E E 3 , d(x,y) ~ ld(x, z) - d(y,z)I.
Preuve
1) llxll = ll(x - y )+ Yl l ~ llx - Yll + llYll, d'où llxll - ll Yll ~ llx - Yll.
Enéchangeantx et y : llYll - llxll ~ lly -x ll = llx - yll .
Ainsi llx - yll ~ Max(llxll - llyl l,llyll - llx ll) = lllxl l - llylll·
2)d(x,y) = llx - Yl l = ll (x - z) - (y - z)ll ? l1 1x - zll - llY - zll l = ld(x,z) - d(y,z)I- •
3) Construction de normes
a) Norme induite sur un sous-ev
Soient ( E, 11-11) un evn, d la distance associée à 11.11.
•Pour tout sev F de E , l'application F -----* ~ est une norme sur F, appelée
x r-----+ l lx 11
norme induite sur F par 11 · 11 (de E), et encore notée 11 · 11.
• Pour toute partie X de E, l'application X x X -----* ~ est appelée distance
(x ,y )r-----+d (x ,y)
induite sur X par d, et encore notée d.
b) Normes sur un produit fini de JK-evn
n
Soient n E N* , (Ek,Nk)J ~k~n des JK-evn, E = n Ek. Considérons pour tout
k= I
x = (x1,. .. ,xn) de E, les réels v1 (x) , v2(x) , v 00 (x) définis par:
n
v1 (x) = L Nk(xk),
k=l
Les applications v1 , v2, v 00 sont des normes sur E, appelées normes standard sur
n
n Ek associées à N1 , ... , Nn.
J
k= I
- - - - - - -
4) Algèbres normées
Rappelons qu'une algèbre (ou JK -algèbre) est un JK-ev A muni d'une loi interne, notée ici.
ou par l'absence de symbole, telle que :
1
(i)
(ii)
• est distributive sur + :
{
x(y + z) = xy + x z
\l(x ,y ,z) E A 3 ,
(y + z)x = yx + zx
\1).. E JK, \l(x ,y) E A 2 , (h)y = À(xy ) = x(Ày ).
Si de plus . est commutative (resp. associative, resp. admet un neutre), on dit que A est une lKalgèbre commutative (resp. associative, resp. unitaire).
Exercice 1.1.2.
Une norme sur E induit une norme sur
tout sev de E.
Il est clair que, pour tout sev de E, la
distance induite sur F par d est aussi la
distance associée à la norme induite
sur Fpar ll · 11.
r
Les définitions de v 1, v2, v 00
\j_., généralisent celles de 11 • 1 li , 11 • 112.
11 · lloo vuessur !K" (exemple l)p.4).La
preuve du fait que ce sont des normes est
analogue à celle de l'exemple 1).
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
..c
c:n
·;:: -->- o.
0
u
8
Rappels d'algèbre générale, cf. Algèbre
MPSI.
Inégalité triangulaire renversée
Soient (E , 11.11) un evn et d la distance associée à 11.11. On a :
1) 'l(x,y) E E
2 ,
llx - Yll ~ lllxll - llYlll
2) V(x,y,z) E E 3 , d(x,y) ~ ld(x, z) - d(y,z)I.
Preuve
1) llxll = ll(x - y )+ Yl l ~ llx - Yll + llYll, d'où llxll - ll Yll ~ llx - Yll.
Enéchangeantx et y : llYll - llxll ~ lly -x ll = llx - yll .
Ainsi llx - yll ~ Max(llxll - llyl l,llyll - llx ll) = lllxl l - llylll·
2)d(x,y) = llx - Yl l = ll (x - z) - (y - z)ll ? l1 1x - zll - llY - zll l = ld(x,z) - d(y,z)I- •
3) Construction de normes
a) Norme induite sur un sous-ev
Soient ( E, 11-11) un evn, d la distance associée à 11.11.
•Pour tout sev F de E , l'application F -----* ~ est une norme sur F, appelée
x r-----+ l lx 11
norme induite sur F par 11 · 11 (de E), et encore notée 11 · 11.
• Pour toute partie X de E, l'application X x X -----* ~ est appelée distance
(x ,y )r-----+d (x ,y)
induite sur X par d, et encore notée d.
b) Normes sur un produit fini de JK-evn
n
Soient n E N* , (Ek,Nk)J ~k~n des JK-evn, E = n Ek. Considérons pour tout
k= I
x = (x1,. .. ,xn) de E, les réels v1 (x) , v2(x) , v 00 (x) définis par:
n
v1 (x) = L Nk(xk),
k=l
Les applications v1 , v2, v 00 sont des normes sur E, appelées normes standard sur
n
n Ek associées à N1 , ... , Nn.
J
k= I
- - - - - - -
4) Algèbres normées
Rappelons qu'une algèbre (ou JK -algèbre) est un JK-ev A muni d'une loi interne, notée ici.
ou par l'absence de symbole, telle que :
1
(i)
(ii)
• est distributive sur + :
{
x(y + z) = xy + x z
\l(x ,y ,z) E A 3 ,
(y + z)x = yx + zx
\1).. E JK, \l(x ,y) E A 2 , (h)y = À(xy ) = x(Ày ).
Si de plus . est commutative (resp. associative, resp. admet un neutre), on dit que A est une lKalgèbre commutative (resp. associative, resp. unitaire).