Exercices 1.1.1 , 1.1.3à 1.1.10.
· La formule
d(x, y) = llx - Yl l
exprime la distance à l'aide de la norme.
· La formule
llx ll = d(O,x)
exprime la norme à l'aide de la distance.
1) : symétrie
2) : séparation
3) : inégalité triangulaire
4) : positive homogénéité
SI : invariance par translation.
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1.1 · Vocabulaire de la topolog ie d'un espace vect oriel norm é
2) Distance associée à une norme
Soit ( E , 11.1 [) un evn ; on appelle distance associée à 11.11 l'application d : E 2 -----+ IR
définie par : V(x,y) E E 2 , d(x,y) = llx - Yll.
En particulier: 'v'x E E, d(O,x) = llxll .
Soient ( E, 11. 1 [) un evn et d la distance associée à 11.11.
On a :
1) V(x ,y) E E 2 , d(y ,x) = d(x ,y)
2) V(x ,y) E E 2 , (d(x , y) = Û <==>X= y)
3) V(x ,y,z) E E 3 , d(x ,z) ~ d(x ,y) + d(y,z)
4) V(x,y) E E
2 , 'VÀ E IK, d(Àx,Ày ) = IÀld(x,y)
5) V(x,y, z) E E 3 , d (x + z ,y + z) = d(x, y ).
Preuve
1) d(y ,x) = llY - xll = Il - (x - y)ll = llx - Yll = d(x ,y)
2) d(x,y) = 0 <=:::=} llx - Yll = 0 <=:::=}X - y = 0 <=:::=}X= y
3) d(x ,z) = llx - zll = ll(x - y)+ (y - z)ll ~ llx - Yll + ll Y - zll = d(x ,y) + d(y ,z)
4) d(ÀX ,Ày) = llÀX - Ày ll = llÀ(x - y) ll = IÀI llx - yll = l).. ld(x,y)
5) d(x + z,y + z) = ll Cx + z) - (y + z) ll = llx - Yll = d(x, y ) .
•
Remarques:
1) Soit E un ensemble ; on appelle distance sur E toute application d : E
2 -----+ IR satisfaisant
les conditions 1),2), 3) précédentes. On appelle espace métrique tout couple (E,d) où E est
un ensemble et d une distance sur E .
2) Si E est un JK-ev et d : E
2 -----+ IR une application sati sfaisant les cinq conditions 1), 2), 3),
4), 5) précédentes, alors il existe une norme et une seule 11 -11 su r E telle que :
'v'(x, y) E E
2 , d(x ,y) = llx - Yll .
3) Les propriétés 3), 4), 5) peuvent être interprétées graphiquement (pour la norme euclidienne usuelle dans IR
2 ) :
X
Z
-
d(x, z) -
Propriété 3) :
inégalité triangulaire
0
Propriété 4) :
positive homogénéité
z
x + z
Propriété 5) :
invariance par translation
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