Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
O Réviser les propriétés de la nonne 11. l loo
VJ dans Analyse MPSI, § 4.1.8.
La continuité de f est ici essentielle.
Cf. Analyse MPSI, § 6.2.5 Cor.4.
La continuité de fest ici essentielle.
Cf.Analyse MPSI, § 6.2.5 Cor.4.
Cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Théorème, pour
le cas réel, et plus loin § 2.3.4 2) th.3 pour
le cas complexe.
' \ ] Cf. exercice 1.1.9 p. 1 O .
' 0/J Cf.exercicel.1.9d)p.10.
6
En effet, pour tous f ,g de B(X; JK.) et tout À de lK. :
(i)
ll V lloo = Sup IÀf(x) I = IÀI Sup lf(x)I = IÀ I llflloo
xE X
xE X
(ii)
ll f lloo = 0 {:::::::} (Vx EX, lf(x ) I = 0) {:::::::} f = 0
(iii) Il!+ gl loo = Sup lf(x) + g(x) I ~ Sup(lf(x) I + lg(x)I)
xE X
xEX
~ Sup lf(x) I + Sup lg(x) I = llfl loo + llglloo·
xe X
xe X
La norme 11 .lloo sur B(X; JK.) est appelée norme de la convergence uniforme car
(cf. 5.1.1) une suite Cfn)n converge uniformément vers f sur X si et seulement si:
1
Il existe NE N tel que, pour tout n ;?! N, fn - f E B(X; IK)
llfn - f lloo -----+ O.
noo
4) Soient (a,b) E IR 2 , tel que a < b, et E = C([a ; b] ,.IK) le JK.-ev des applications continues
de [a ; b] dans lK.. Considérons, pour toute f de E , les réels 11f11 1 , 11 f l li définis par :
b
!
ll flli = (1 11 1
2
)2
Vérifions que les applications 11.1 1 1 , ll .lli: C ( [a; b],JK.)-----+ IR ainsi définies sont des
normes. On a, pour tous f ,g de C([a; b], JK.) et tout À de .lK. :
a) (i) ll Vll1 =lb IV I = IÀI lb Il l = IÀI 11111 1
(ii) ll f ll 1=Ü{:::::::} 1blfl =0{:::::::}f=0,
car f est continue
(iii) ll f+gl l1 = l bl f +gl ~ l b
1
1
1
b) (i) ll Àfll2 =(lb 1v1
2
)
2
= ( 1À1
2 l b 1.r1
2
)
2
= IÀI (lb 111
2
)
2
= IÀI llf lli
(ii)l lf ll2 =Ü{:::::::} 1 bl f l
2 =Ü{:::::::}f=0,
car f est continue
(iii) L'inégalité 11 f + g l li ~ 11 f l li + l lg l li est conséquence de l'inégalité de CauchySchwarz pour les intégrales :
5) Plus généralement, avec les notations de 4), pour tout p de [l ,+oo[, l'application:
est une norme, appelée norme de HOlder.
Pour toute f de C([a ; b], JK.) , ll fl lp-----+ Sup lf (x) I, ce qui justifie ici la notation ll f lloo ·
poo x E[a :b]
O Réviser les propriétés de la nonne 11. l loo
VJ dans Analyse MPSI, § 4.1.8.
La continuité de f est ici essentielle.
Cf. Analyse MPSI, § 6.2.5 Cor.4.
La continuité de fest ici essentielle.
Cf.Analyse MPSI, § 6.2.5 Cor.4.
Cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Théorème, pour
le cas réel, et plus loin § 2.3.4 2) th.3 pour
le cas complexe.
' \ ] Cf. exercice 1.1.9 p. 1 O .
' 0/J Cf.exercicel.1.9d)p.10.
6
En effet, pour tous f ,g de B(X; JK.) et tout À de lK. :
(i)
ll V lloo = Sup IÀf(x) I = IÀI Sup lf(x)I = IÀ I llflloo
xE X
xE X
(ii)
ll f lloo = 0 {:::::::} (Vx EX, lf(x ) I = 0) {:::::::} f = 0
(iii) Il!+ gl loo = Sup lf(x) + g(x) I ~ Sup(lf(x) I + lg(x)I)
xE X
xEX
~ Sup lf(x) I + Sup lg(x) I = llfl loo + llglloo·
xe X
xe X
La norme 11 .lloo sur B(X; JK.) est appelée norme de la convergence uniforme car
(cf. 5.1.1) une suite Cfn)n converge uniformément vers f sur X si et seulement si:
1
Il existe NE N tel que, pour tout n ;?! N, fn - f E B(X; IK)
llfn - f lloo -----+ O.
noo
4) Soient (a,b) E IR 2 , tel que a < b, et E = C([a ; b] ,.IK) le JK.-ev des applications continues
de [a ; b] dans lK.. Considérons, pour toute f de E , les réels 11f11 1 , 11 f l li définis par :
b
!
ll flli = (1 11 1
2
)2
Vérifions que les applications 11.1 1 1 , ll .lli: C ( [a; b],JK.)-----+ IR ainsi définies sont des
normes. On a, pour tous f ,g de C([a; b], JK.) et tout À de .lK. :
a) (i) ll Vll1 =lb IV I = IÀI lb Il l = IÀI 11111 1
(ii) ll f ll 1=Ü{:::::::} 1blfl =0{:::::::}f=0,
car f est continue
(iii) ll f+gl l1 = l bl f +gl ~ l b
1
1
1
b) (i) ll Àfll2 =(lb 1v1
2
)
2
= ( 1À1
2 l b 1.r1
2
)
2
= IÀI (lb 111
2
)
2
= IÀI llf lli
(ii)l lf ll2 =Ü{:::::::} 1 bl f l
2 =Ü{:::::::}f=0,
car f est continue
(iii) L'inégalité 11 f + g l li ~ 11 f l li + l lg l li est conséquence de l'inégalité de CauchySchwarz pour les intégrales :
5) Plus généralement, avec les notations de 4), pour tout p de [l ,+oo[, l'application:
est une norme, appelée norme de HOlder.
Pour toute f de C([a ; b], JK.) , ll fl lp-----+ Sup lf (x) I, ce qui justifie ici la notation ll f lloo ·
poo x E[a :b]