Si N est compatible avec la multiplication
deA,alorsilexiste C E IR~ tel que:
'v'(x ,y) E A 2 ,
N(x y ) ~ CN (x)N (y ) ,
et l'application
N' : A --+ IR définie par:
Vx E A , N ' (x) = CN(x)
est une norme d'algèbre sur A.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Soient A une OC-algèbre, N une norme sur le OC-ev A.
1) On dit que N est compatible avec la multiplication de A si et seulement si :
3 CE IR.+, 'v'(x,y) E A
2 ,
N(xy) ~ CN(x)N(y).
2) On dit que N est une norme d'algèbre si et seulement si :
'v' (x,y) E A
2 ,
N(xy) ~ N(x)N(y).
On appelle OC-algèbre normée tout couple (A,N) où A est une OC-algèbre et N une
norme d'algèbre sur A.
Pour tout ensemble non vide X, B(X; OC) est une algèbre normée, la troisième loi
étant la multiplication.
Preuve
\J Cf. Analyse MPSI, 4.1.8 Prop. 3.
Onsaitdéjàque(B(X; JK) , 1 1· 11 00 ) estunevn.
De plus, B(X,JK) est une algèbre et:
V(f,g) E (B(X, JK) )
2
,
ll fg lloo ~ ll f llooll glloo ·
•
Nous verrons plus Join(§ 1.2.5 p. 53) que, si (E,ll · 11) est un JK -evn, alors (.CC(E).111 · Il l) est
une OC-algèbre normée.
Les méthodes à retenir
-0
0
c
::J
0
Norme, distance associée
(V)
......
~ ~
• Pour montrer qu'une application est une norme sur un OC-espace vectoriel (ex. 1.1.3 à 1.1.9), revenir à la défi@ §
nition (Déf. p. 4) .
.._, _
Éi] • Pour exprimer la distance d associée à une norme N sur E, utiliser :
~· i
'v'(x,y) E E 2 , d(x,y) = N(x - y) ,
0 "'
U g
et, pour exprimer une norme N à partir distance associée d sur E, utiliser :
"'
ï5.
g
ë
..c:
Q.
j
-g
c:
::>
0
@
'v'x E E, N(x) = d(O,x),
(ex. 1.1.2) .
• Pour établir une inégalité faisant intervenir une norme (ex. 1.l.10), on pourra essayer d' appliquer judicieusement l'inégalité triangulaire.
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